2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)試題和答案
隨著2017高考的結(jié)束,2018的學(xué)生也進入了高三的學(xué)習,學(xué)生需要多做試卷,下面是學(xué)習啦小編給大家?guī)淼挠嘘P(guān)于高考數(shù)學(xué)的試題介紹,希望能夠幫助到大家。
2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)試題
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 1.( )
A. B. C. D.
2.設(shè)集合,.若,則( )
A. B. C. D.
3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
5.設(shè),滿足約束條件,則的最小值是( )
A. B. C. D.
6.安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有( )
A.12種 B.18種 C.24種 D.36種
7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則( )
A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績
C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績
8.執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.若雙曲線(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,則的離心率為( )
A.2 B. C. D.
10.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
11.若是函數(shù)的極值點,則的極小值為( )
A. B. C. D.1
12.已知是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則的最小值是( )
A. BmC. D.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.一批產(chǎn)品的二等品率為,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數(shù),則 .
14.函數(shù)()的最大值是 .
15.等差數(shù)列的前項和為,,,則 .
16.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則 .
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。
(一)必考題:共60分。
17.(12分)
的內(nèi)角的對邊分別為 ,已知.
(1)求
(2)若 , 面積為2,求
18.(12分)
淡水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg)某頻率直方圖如下:
設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件:舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計A的概率;
填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法
根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)
P() 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
19.(12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面BCD, E是PD的中點
(1)證明:直線 平面PAB
(2)點M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ,求二面角M-AB-D的余弦值
20. (12分)
設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓C:上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點P滿足.
求點P的軌跡方程;
設(shè)點Q在直線x=-3上,且.證明:過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.
21.(12分)
已知函數(shù)且.
(1)求a;
(2)證明:存在唯一的極大值點,且.
(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,按所做的第一題計分。
22.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標系xy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)M為曲線上的動點,點P在線段OM上,且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程;
(2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線上,求面積的最大值.
23.[選修4-5:不等式選講](10分)
已知,證明:
(1);
(2).
2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)試題答案
一、選擇題
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空題
13. 1.96 14. 1 15. 16. 6
三、解答題
17.解:
(1)由題設(shè)及,故
上式兩邊平方,整理得
解得
(2)由,故
又
由余弦定理及得
所以b=2
18.解:
(1)記“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”
舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于
故的估計值為0.62
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于
故的估計值為0.66
因此,事件A的概率估計值
(2)
箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66
故有的把握產(chǎn)量養(yǎng)殖方法有關(guān).
(3)的直方圖面積為
,
箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為
故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為
.
(1)中點,連,.
為中點,,,由得,又
所以.四邊形為平行四邊形, .
又,
(2)
,以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則
則,,,,
,
因為BM與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量,所以
,
即(x-1)²+y²-z²=0
又M在棱PC上,設(shè)
由①,②得
所以M,從而
設(shè)是平面ABM的法向量,則
所以可取m=(0,-,2)于是
因此二面角M-AB-D的余弦值為
20.解
(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),設(shè)N(x0,0),
由得
因為M(x0,y0)在C上,所以
因此點P的軌跡方程為
(2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則
,
由得,又由(1)知,故
3+3m-tn=0
所以,即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
21.解:
(1)的定義域為
設(shè),則等價于
因為
若a=1,則.當01時,>0,單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點,故
綜上,a=1
(2)由(1)知
設(shè)
當時,;當時,,所以在單調(diào)遞,在單調(diào)遞增
又,所以在有唯一零點x0,在有唯一零點1,且當時;當時,,當時.
因為,所以x=x0是f(x)的唯一極大值點
由
由得
因為x=x0是f(x)在(0,1)的最大值點,由得
所以
22.解:
(1)設(shè)P的極坐標為,M的極坐標為,由題設(shè)知
由得的極坐標方程
因此的直角坐標方程為
(2)設(shè)點B的極坐標為,由題設(shè)知
,于是△OAB面積
當時,S取得最大值
所以△OAB面積的最大值為
23.解:
(1)
(2)因為
所以,因此a+b≤2
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