2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題和答案(2)
2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題解析版
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則有:,故選D。
【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的除法
【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除。除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程。在做復(fù)數(shù)的除法時(shí),要注意利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):若z1,z2互為共軛復(fù)數(shù),則z1·z2=|z1|2=|z2|2,通過(guò)分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)將分母實(shí)數(shù)化。
2.設(shè)集合,。若,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
【答案】B
4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為( )
B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:由題意,該幾何體是一個(gè)組合體,下半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為4的圓柱,其體積,上半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為4的圓柱的一半,其體積,該組合體的體積為:。故選B。
【考點(diǎn)】 三視圖;組合體的體積
【名師點(diǎn)睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),要從三個(gè)視圖綜合考慮,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線。在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí),一般是以正視圖和俯視圖為主,結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮。求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)體積公式求解。
5.設(shè),滿足約束條件,則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有( )
A.12種 B.18種 C.24種 D.36種
【答案】D
【解析】
試題分析:由題意可得,一人完成兩項(xiàng)工作,其余兩人每人完成一項(xiàng)工作,據(jù)此可得,只要把工作分成三份:有種方法,然后進(jìn)行全排列即可,由乘法原理,不同的安排方式共有種方法。 故選D。
【考點(diǎn)】 排列與組合;分步乘法計(jì)數(shù)原理
【名師點(diǎn)睛】(1)解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步。具體地說(shuō),解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置)。
(2)不同元素的分配問(wèn)題,往往是先分組再分配。在分組時(shí),通常有三種類型:不均勻分組;均勻分組;部分均勻分組,注意各種分組類型中,不同分組方法的求法。
7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)。老師說(shuō):你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī)。看后甲對(duì)大家說(shuō):我還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息,則( )
A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī)
C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)
【答案】D
8.執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證。
9.若雙曲線(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則的離心率為( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
10.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.若是函數(shù)的極值點(diǎn),則的極小值為( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】
試題分析:由題可得
因?yàn)?,所以,,?/p>
令,解得或,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減
所以極小值為,故選A。
【考點(diǎn)】 函數(shù)的極值;函數(shù)的單調(diào)性
【名師點(diǎn)睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同。
(2)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒(méi)有極值。
12.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則的最小是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.一批產(chǎn)品的二等品率為,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數(shù),則 。
【答案】
14.函數(shù)()的最大值是 。
【答案】1
【解析】
試題分析:化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式:
,
由自變量的范圍:可得:,
當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值1。
【考點(diǎn)】 三角變換,復(fù)合型二次函數(shù)的最值。
【名師點(diǎn)睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)將三角函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題,二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”,它們常結(jié)合在一起,有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從:開(kāi)口方向;對(duì)稱軸位置;判別式;端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析。
15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則 。
【答案】
【解析】
試題分析:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,
由題意有: ,解得 ,
數(shù)列的前n項(xiàng)和,
裂項(xiàng)有:,據(jù)此:
。
【考點(diǎn)】 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式;裂項(xiàng)求和。
【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題。數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的
16.已知是拋物線的焦點(diǎn),是上一點(diǎn),的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn),則 。
【答案】6
【考點(diǎn)】拋物線的定義;梯形中位線在解析幾何中的應(yīng)用。
【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ),它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化。如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,又能與距離聯(lián)系起來(lái),那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題。因此,涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題,可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必做題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。
(一)必考題:共60分。
17.(12分)
的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,
(1)求;
(2)若,的面積為,求。
【答案】(1);
(2)。
18.(12分)
海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg)某頻率分布直方圖如下:
設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件:“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計(jì)A的概率;
填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法
根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)
附:
【答案】(1);
(2) 有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);
(3)。
(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表
箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66
由于,故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。
19.(12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中點(diǎn)。
(1)證明:直線 平面PAB;
(2)點(diǎn)M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成角為 ,求二面角的余弦值。
【答案】(1)證明略;
(2) 。
(2)由已知得,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,為單位長(zhǎng),
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
設(shè)則,
因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量,
【考點(diǎn)】 判定線面平行;面面角的向量求法
【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn):一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算,要認(rèn)真細(xì)心,準(zhǔn)確計(jì)算。
(2)設(shè)m,n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與互補(bǔ)或相等,故有|cos θ|=|cos|=。求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
20. (12分)
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:上,過(guò)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足。
求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上,且。證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。
【答案】(1) 。
(2)證明略。
(2)由題意知。設(shè),則
,
。
由得,又由(1)知,故
。
所以,即。又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F。
【考點(diǎn)】 軌跡方程的求解;直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題。
【名師點(diǎn)睛】求軌跡方程的常用方法有:
(1)直接法:直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0。
(2)待定系數(shù)法:已知所求曲線的類型,求曲線方程。
(3)定義法:先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
(4)代入(相關(guān)點(diǎn))法:動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)的變化而運(yùn)動(dòng),常利用代入法求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程。
21.(12分)
已知函數(shù),且。
(1)求;
(2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且。
【答案】(1);
(2)證明略。
(2)由(1)知 ,。
設(shè),則。
當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), ,
所以 在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增。
(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,按所做的第一題計(jì)分。
22。[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為。
(1)M為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線上,求面積的最大值。
【答案】(1);
(2) 。
【考點(diǎn)】 圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程;三角形面積的最值。
【名師點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用。重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí),求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解,或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解。要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程。
23.[選修4-5:不等式選講](10分)
已知。證明:
(1);
(2)。
【答案】(1)證明略;
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