2017年高考全國Ⅰ卷理數(shù)試題和答案(2)
2017年高考全國Ⅰ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國Ⅰ卷文數(shù)試題解析版
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合A=，B=，則
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是
A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標準差
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)
【答案】B
【解析】
試題分析：刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標是標準差，故選B
【考點】樣本特征數(shù)
【名師點睛】眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平; 中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，(起到分水嶺的作用)中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平; 平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平;
方差：方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小)并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.
標準差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度.
3.下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
【答案】C
4.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是
B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：不妨設(shè)正方形邊長為，由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即所各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，所求概率為，選B.
【考點】幾何概型
【名師點睛】對于一個具體問題能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化，也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)建立適當?shù)淖鴺讼?，在此基礎(chǔ)上，將實驗的每一結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標系中的一點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域;另外，從幾何概型的定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞理解為對應(yīng)于每個實驗結(jié)果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小，僅與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置、形狀無關(guān).
5.已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1，3)，則△APF的面積為
A. B. C. D.
【答案】D
6.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析：由B，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ;由C，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ;由D，AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ.故A不滿足，選A.
【考點】空間位置關(guān)系判斷
【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.
7.設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
8.函數(shù)的部分圖像大致為
A. B.
C. D.
【答案】C
9.已知函數(shù)，則
A.在(0，2)單調(diào)遞增 B.在單調(diào)遞減
C.y=的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D.y=的圖像關(guān)于點(1，0)對稱
【答案】C
【解析】
試題分析：由題意知，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C正確，D錯誤;又()，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯誤，故選C.
【考點】函數(shù)性質(zhì)
【名師點睛】如果函數(shù)，，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對稱軸;如果函數(shù)，，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對稱中心.
10.如圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入
A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2
【答案】D
11.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，a=2，c=，則C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：由題意得
，
即，所以.
由正弦定理得，即，得，故選B.
【考點】解三角形
【名師點睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.
12.設(shè)A、B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知向量a=(–1，2)，b=(m，1).若向量a+b與a垂直，則m=________.
【答案】7
【解析】
試題分析：由題得，因為，所以，解得
【考點】平面向量的坐標運算 ，垂直向量
【名師點睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，則ab的充要條件是x1x2+y1y2=0.
14.曲線在點(1，2)處的切線方程為______________.
【答案】
15.已知，tan α=2，則=__________.
【答案】
【解析】
試題分析：由得
又
所以
因為
所以
因為
所以
【考點】三角函數(shù)求值
【名師點睛】三角函數(shù)求值的三種類型
(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).
(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
①一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用;
②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的.
(3)給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.
16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.
【答案】
形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線(這兩個多邊形需有公共點)，這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題：60分.
17.(12分)
記Sn為等比數(shù)列的前n項和，已知S2=2，S3=-6.
(1)求的通項公式;
(2)求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列.
【答案】(1);(2)，證明見解析.
解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法.
18.(12分)
如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.
(1)證明：平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC，，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.
【答案】(1)證明見解析; (2).
19.(12分)
為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得，，，，其中為抽取的第個零件的尺寸，.
(1)求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小).
(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.
(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?
(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01)
附：樣本的相關(guān)系數(shù)，.
【答案】(1)，可以;(2)(ⅰ)需要;(ⅱ)均值與標準差估計值分別為10.02，0.09.
(ii)剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.
，
剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，
這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的標準差的估計值為.
【考點】相關(guān)系數(shù)，方差均值計算
【名師點睛】解答新穎的數(shù)學題時，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”;二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”;三是創(chuàng)造性地運用數(shù)學思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點和生長點.
20.(12分)
設(shè)A，B為曲線C：y=上兩點，A與B的橫坐標之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程.
【答案】(1)1; (2).
【解析】
21.(12分)
已知函數(shù)=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若，求a的取值范圍.
【答案】(1)當，在單調(diào)遞增;當，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增;當，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增;(2).
【解析】
試題分析：(1)分，，分別討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)分，，分別解，從而確定a的取值范圍.
試題解析：(1)函數(shù)的定義域為，，
①若，則，在單調(diào)遞增.
?、谌簦瑒t由得.
當時，;當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
③若，則由得.
當時，;當時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.
22.[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為
.
(1)若，求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l的距離的最大值為，求.
【答案】(1)，;(2)或.
(2)直線的普通方程為，故上的點到的距離為
.
當時，的最大值為.由題設(shè)得，所以;
當時，的最大值為.由題設(shè)得，所以.
綜上，或.
【考點】參數(shù)方程
【名師點睛】本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，聯(lián)立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表達橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性確認最值，進而求得參數(shù)的值.
23.[選修4—5：不等式選講](10分)
已知函數(shù)，.
(1)當時，求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
(2)圖像法：作出函數(shù)和的圖像，結(jié)合圖像求解.
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