九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末考試題(2)
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末考試題
九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末考試題參考答案
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.方程x2﹣4=0的解是( )
A.x=±2 B.x=±4 C.x=2 D.x=﹣2
【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開(kāi)平方法.
【分析】直接開(kāi)平方法求解可得.
【解答】解:∵x2﹣4=0,
∴x2=4,
∴x=±2,
故選:A.
2.反比例函數(shù)y= 的圖象位于( )
A.第一、三象限 B.第三、四象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵反比例函數(shù)y= 中,k=﹣4<0,
∴此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二四象限.
故選D.
3.如圖是由6個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體,那么這個(gè)幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形判定則可.
【解答】解:從上面可看到第一橫行左下角有一個(gè)正方形,
第二橫行有3個(gè)正方形,
第三橫行中間有一個(gè)正方形.
故選C.
4.準(zhǔn)備兩組相同的牌,每組兩張且大小相同,兩張牌的牌面數(shù)字分別是0,1,從每組牌中各摸出一張牌,兩張牌的牌面數(shù)字和為1的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】根據(jù)題意列出表格,得到所有的可能情況,找到兩張牌的牌面數(shù)字和為1的情況個(gè)數(shù),即可求出所求的概率.
【解答】解:根據(jù)題意列得:
1 0
1 2 1
0 1 0
所有的情況有4種,其中兩張牌的牌面數(shù)字和為1的有2種,
所以兩張牌的牌面數(shù)字和為1的概率= = ,
故選C.
5.矩形的長(zhǎng)為x,寬為y,面積為9,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示大致為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;反比例函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)矩形的面積得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)x的范圍以及函數(shù)類型即可作出判斷.
【解答】解:矩形的長(zhǎng)為x,寬為y,面積為9,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:y= (x>0).
是反比例函數(shù),且圖象只在第一象限.
故選C.
6.某種型號(hào)的電視機(jī)經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià),每臺(tái)售價(jià)由原來(lái)的1500元,降到了980元,設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則下列方程中正確的是( )
A.1500(1﹣x)2=980 B.1500(1+x)2=980 C.980(1﹣x)2=1500 D.980(1+x)2=1500
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.
【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意可得,原價(jià)×(1﹣降價(jià)百分率)2=現(xiàn)價(jià),據(jù)此列方程即可.
【解答】解:設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,
由題意得,1500(1﹣x)2=980.
故選A.
7.當(dāng)k>0時(shí),反比例函數(shù)y= 和一次函數(shù)y=kx+2的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)k>0,判斷出反比例函數(shù)y= 經(jīng)過(guò)一三象限,一次函數(shù)y=kx+2經(jīng)過(guò)一二三象限,結(jié)合選項(xiàng)所給圖象判斷即可.
【解答】解:∵k>0,
∴反比例函數(shù)y= 經(jīng)過(guò)一三象限,一次函數(shù)y=kx+2經(jīng)過(guò)一二三象限.
故選C.
8.已知關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0有一根為0,則k=( )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.0
【考點(diǎn)】一元二次方程的解;一元二次方程的定義.
【分析】一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立;將x=0代入原方程即可求得k的值.
【解答】解:把x=0代入一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0,
得k2﹣1=0,
解得k=﹣1或1;
又k﹣1≠0,
即k≠1;
所以k=﹣1.
故選B.
9.如圖,△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③ .其中正確的有( )
A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
【考點(diǎn)】三角形中位線定理;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】若D、E是AB、AC的中點(diǎn),則DE是△ABC的中位線,可根據(jù)三角形中位線定理得出的等量條件進(jìn)行判斷.
【解答】解:∵D、E是AB、AC的中點(diǎn),
∴DE是△ABC的中位線;
∴DE∥BC,BC=2DE;(故①正確)
∴△ADE∽△ABC;(故②正確)
∴ ,即 ;(故③正確)
因此本題的三個(gè)結(jié)論都正確,故選A.
10.如圖,在正方形ABCD中,E位DC邊上的點(diǎn),連結(jié)BE,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DCF,連結(jié)EF,若∠BEC=60°,則∠EFD的度數(shù)為( )
A.15° B.10° C.20° D.25°
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】由旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)角相等可知,∠DFC=∠BEC=60°;一個(gè)特殊三角形△ECF為等腰直角三角形,可知∠EFC=45°,把這兩個(gè)角作差即可.
【解答】解:∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DCF,
∴CE=CF,∠DFC=∠BEC=60°,∠EFC=45°,
∴∠EFD=60°﹣45°=15°.
故選:A.
二、填空題(每題4分,共40分)
11.隨機(jī)擲一枚均勻的正方體骰子,骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)小于3的概率是 .
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】根據(jù)概率的求法,找準(zhǔn)兩點(diǎn):
①全部情況的總數(shù);
?、诜蠗l件的情況數(shù)目;二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【解答】解:∵隨機(jī)擲一枚均勻的正方體骰子,骰子停止后朝上的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6共6種,
其中只有1和2小于3,
∴所求的概率為 = .
故答案為: .
12.已知兩個(gè)相似的三角形的面積之比是16:9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比是 4:3 .
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出相似比,根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比解答即可.
【解答】解:∵兩個(gè)相似的三角形的面積之比是16:9,
∴兩個(gè)相似的三角形的相似比是4:3,
∴兩個(gè)相似的三角形的周長(zhǎng)比是4:3,
故答案為:4:3.
13.菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,則此菱形的周長(zhǎng)為 20 ,面積為 24 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】由菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半,可求得菱形的面積,由勾股定理可求得AB的長(zhǎng),繼而求得周長(zhǎng).
【解答】解:如圖,AC=6,BD=8,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA= AC=3,OB= BD=4,
∴AB= =5,
∴菱形的周長(zhǎng)是:4AB=4×5=20,面積是: AC•BD= ×6×8=24.
故答案為:20,24.
14.在反比例函數(shù) 的圖象的每一條曲線上,y隨著x的增大而增大,則k的取值范圍是 k<1 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到k﹣1<0,然后解不等式即可.
【解答】解:∵反比例函數(shù) 的圖象的每一條曲線上,y隨著x的增大而增大,
∴k﹣1<0,
∴k<1.
故答案為k<1.
15.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在AB,AC邊上,DE∥BC,若AD:DB=1:3,AE=3,則AC= 12 .
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例,可以求得AC的長(zhǎng).
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ ,
∵AD:DB=1:3,AE=3,
∴EC=9,
∴AC=AE+EC=3+9=12,
故答案為:12
16.已知關(guān)于x的方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍為 k≤2且k≠1 .
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k﹣1≠0,即k≠1,且△≥0,即(﹣2)2﹣4(k﹣1)≥0,然后求出這兩個(gè)不等式解的公共部分即為k的取值范圍.
【解答】解:∵關(guān)于x的方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴k﹣1≠0,即k≠1,且△≥0,即(﹣2)2﹣4(k﹣1)≥0,
解得k≤2,
∴k的取值范圍為k≤2且k≠1.
故答案為:k≤2且k≠1.
17.如圖,在△ABC中,添加一個(gè)條件: ∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP•AC ,使△ABP∽△ACB.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】相似三角形的判定,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,題中∠A為公共角,再有一對(duì)應(yīng)角相等即可.
【解答】解:在△ABP和△ACB中,
∵∠A=∠A,
∴當(dāng)∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或 = 即AB2=AP•AC時(shí),
△ABP∽△ACB,
故答案為:∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP•AC.
18.如圖,點(diǎn)M是反比例函數(shù)y= (a≠0)的圖象上一點(diǎn),過(guò)M點(diǎn)作x軸、y軸的平行線,若S陰影=5,則此反比例函數(shù)解析式為 y=﹣ .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得|a|=5,再根據(jù)圖象在二、四象限可確定a=﹣5,進(jìn)而得到解析式.
【解答】解:∵S陰影=5,
∴|a|=5,
∵圖象在二、四象限,
∴a<0,
∴a=﹣5,
∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ,
故答案為:y=﹣ .
19.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F,AB=2,BC=3,則圖中陰影部分的面積為 3 .
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形是中心對(duì)稱圖形尋找思路:△AOE≌△COF,圖中陰影部分的面積就是△BCD的面積.
【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=OC,∠AEO=∠CFO;
又∵∠AOE=∠COF,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF,
∴S△AOE=S△COF,
∴圖中陰影部分的面積就是△BCD的面積.
S△BCD= BC×CD= ×2×3=3.
故答案為:3.
20.觀察下列各式:
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103= 552 .
【考點(diǎn)】規(guī)律型:數(shù)字的變化類.
【分析】13=12
13+23=(1+2)2=32
13+23+33=(1+2+3)2=62
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102
13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.
【解答】解:根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出規(guī)律為從1開(kāi)始,連續(xù)n個(gè)數(shù)的立方和=(1+2+…+n)2
所以13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.
三、解答題(本大題8小題,共80分)
21.解方程:
(1)x(x﹣2)=3(x﹣2)
(2)3x2﹣2x﹣1=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)先移項(xiàng)得到x(x﹣2)﹣3(x﹣2)=0,然后利用因式分解法解方程;
(2)利用因式分解法解方程.
【解答】解:(1)x(x﹣2)﹣3(x﹣2)=0,
(x﹣2)(x﹣3)=0,
x﹣2=0或x﹣3=0,
所以x1=2,x2=3;
(2)(3x﹣1)(x+1)=0,
3x﹣1=0或x+1=0,
所以x1= ,x2=﹣1.
22.已知,如圖,AB和DE是直立在地面上的兩根立柱,AB=5m,某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC=3m.
(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影;
(2)在測(cè)量AB的投影時(shí),同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6m,請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】平行投影;相似三角形的性質(zhì);相似三角形的判定.
【分析】(1)根據(jù)投影的定義,作出投影即可;
(2)根據(jù)在同一時(shí)刻,不同物體的物高和影長(zhǎng)成比例;構(gòu)造比例關(guān)系 .計(jì)算可得DE=10(m).
【解答】解:(1)連接AC,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC,交直線BC于點(diǎn)F,線段EF即為DE的投影.
(2)∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE.
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF.
∴ ,
∴
∴DE=10(m).
說(shuō)明:畫(huà)圖時(shí),不要求學(xué)生做文字說(shuō)明,只要畫(huà)出兩條平行線AC和DF,再連接EF即可.
23.已知:如圖中,AD是∠A的角平分線,DE∥AC,DF∥AB.求證:四邊形AEDF是菱形.
【考點(diǎn)】菱形的判定.
【分析】由已知易得四邊形AEDF是平行四邊形,由角平分線和平行線的定義可得∠FAD=∠FDA,根據(jù)AF=DF得到四邊形AEDF是菱形.
【解答】證明:∵AD是△ABC的角平分線,∴∠EAD=∠FAD,
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,∠EAD=∠ADF,
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF,
∴四邊形AEDF是菱形.
24.一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地完全相同的3只球,球上分別標(biāo)有2,3,5三個(gè)數(shù)字.
(1)從這個(gè)袋子中任意摸一只球,所標(biāo)數(shù)字是奇數(shù)的概率是 ;
(2)從這個(gè)袋子中任意摸一只球,記下所標(biāo)數(shù)字,不放回,再?gòu)膹倪@個(gè)袋子中任意摸一只球,記下所標(biāo)數(shù)字.將第一次記下的數(shù)字作為十位數(shù)字,第二次記下的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字,組成一個(gè)兩位數(shù).求所組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率.(請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”的方法寫(xiě)出過(guò)程)
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)直接根據(jù)概率公式解答即可;
(2)首先畫(huà)出樹(shù)狀圖,可以直觀的得到共有6種情況,其中是5的倍數(shù)的有兩種情況,進(jìn)而算出概率即可.
【解答】解:(1)任意摸一只球,所標(biāo)數(shù)字是奇數(shù)的概率是: ;
(2)如圖所示:共有6種情況,其中是5的倍數(shù)的有25,35兩種情況,
概率為: = .
25.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,為了擴(kuò)大銷售量,增加利潤(rùn),盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫降價(jià)1元,那么商場(chǎng)平均每天可多售出2件,若商場(chǎng)想平均每天盈利達(dá)1200元,那么買件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)買件襯衫應(yīng)降價(jià)x元,那么就多賣出2x件,根據(jù)擴(kuò)大銷售量,增加盈利,盡快減少庫(kù)存,每天在銷售吉祥物上盈利1200元,可列方程求解.
【解答】解:設(shè)買件襯衫應(yīng)降價(jià)x元,
由題意得:(40﹣x)(20+2x)=1200,
即2x2﹣60x+400=0,
∴x2﹣30x+200=0,
∴(x﹣10)(x﹣20)=0,
解得:x=10或x=20
為了減少庫(kù)存,所以x=20.
故買件襯衫應(yīng)應(yīng)降價(jià)20元.
26.如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF.
(1)線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】矩形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD,再利用等量代換即可得證;
(2)先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形,再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC.
【解答】解:(1)BD=CD.
理由如下:依題意得AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,
∵E是AD的中點(diǎn),
∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,
,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=CD,
∵AF=BD,
∴BD=CD;
(2)當(dāng)△ABC滿足:AB=AC時(shí),四邊形AFBD是矩形.
理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,
∴四邊形AFBD是平行四邊形,
∵AB=AC,BD=CD(三線合一),
∴∠ADB=90°,
∴▱AFBD是矩形.
27.如圖,已知直線y=﹣x+4與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于點(diǎn)A(﹣2,a),并且與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)求a的值;
(2)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(3)求△AOB的面積;
(4)根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法把A(﹣2,a)代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+4中即可求出a的值;
(2)由(1)得到A點(diǎn)坐標(biāo)后,把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)= ,即可得到答案;
(3)根據(jù)題意畫(huà)出圖象,過(guò)A點(diǎn)作AD⊥x軸于D,根據(jù)A的坐標(biāo)求出AD的長(zhǎng),再根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)求出OB的長(zhǎng),根據(jù)三角形面積公式即可算出△AOB的面積;
(4)觀察圖象,一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象上方的部分對(duì)應(yīng)x的取值即為所求.
【解答】解:(1)∵點(diǎn)A(﹣2,a)在y=﹣x+4的圖象上,
∴a=2+4=6;
(2)將A(﹣2,6)代入y= ,得k=﹣12,
所以反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ ;
(3)如圖:過(guò)A點(diǎn)作AD⊥x軸于D,
∵A(﹣2,6),
∴AD=6,
在直線y=﹣x+4中,令y=0,得x=4,
∴B(4,0),
∴OB=4,
∴△AOB的面積S= OB×AD= ×4×6=12.
△AOB的面積為12;
(4)設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)為C,
把y=﹣x+4代入y=﹣ ,
整理得x2﹣4x﹣12=0,
解得x=6或﹣2,
當(dāng)x=6時(shí),y=﹣6+4=﹣2,
所以C點(diǎn)坐標(biāo)(6,﹣2),
由圖象知,要使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值,x的取值范圍是:x<﹣2或0
28.如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E為AB的中點(diǎn),
(1)求證:AC2=AB•AD;
(2)求證:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求 的值.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線.
【分析】(1)由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可證得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,證得AC2=AB•AD;
(2)由E為AB的中點(diǎn),根據(jù)在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可證得CE= AB=AE,繼而可證得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;
(3)易證得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得 的值.
【解答】(1)證明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC2=AB•AD;
(2)證明:∵E為AB的中點(diǎn),
∴CE= AB=AE,
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD;
(3)解:∵CE∥AD,
∴△AFD∽△CFE,
∴AD:CE=AF:CF,
∵CE= AB,
∴CE= ×6=3,
∵AD=4,
∴ ,
∴ .
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