2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷答案(2)
2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷參考答案
一、選擇題(本題共12小題,每小題3分,共36分)
1.下列圖形中,是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)正確;
C、不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念.注意中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
2.不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個(gè)球,其中4個(gè)黑球、2個(gè)白球,從袋子中一次摸出3個(gè)球,下列事件是不可能事件的是( )
A.摸出的是3個(gè)白球 B.摸出的是3個(gè)黑球
C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球 D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)白色的只有兩個(gè),不可能摸出三個(gè)進(jìn)行解答.
【解答】解:A.摸出的是3個(gè)白球是不可能事件;
B.摸出的是3個(gè)黑球是隨機(jī)事件;
C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球是隨機(jī)事件;
D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球是隨機(jī)事件,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下,一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件,不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
3.反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上有P1(x1,﹣2),P2(x2,﹣3)兩點(diǎn),則x1與x2的大小關(guān)系是( )
A.x1>x2 B.x1=x2 C.x1
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】直接利用反比例函數(shù)的增減性進(jìn)而分析得出答案.
【解答】解:∵反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上有P1(x1,﹣2),P2(x2,﹣3)兩點(diǎn),
∴每個(gè)分支上y隨x的增大而增大,
∵﹣2>﹣3,
∴x1>x2,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,正確掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.
4.半徑為6,圓心角為120°的扇形的面積是( )
A.3π B.6π C.9π D.12π
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.
【分析】根據(jù)扇形的面積公式S= 計(jì)算即可.
【解答】解:S= =12π,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算,掌握扇形的面積公式S= 是解題的關(guān)鍵.
5.如圖,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可.
【解答】解:A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等,故兩三角形相似,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等,故兩三角形相似,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例,故兩三角形不相似,故本選項(xiàng)正確;
D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等,故兩三角形相似,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.
6.如圖,將△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)20°,B點(diǎn)落在B′位置,A點(diǎn)落在A′位置,若AC⊥A′B′,則∠BAC的度數(shù)是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠BCB′=∠ACA′=20°,又因?yàn)锳C⊥A′B′,則∠BAC的度數(shù)可求.
【解答】解:∵△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)20°,B點(diǎn)落在B′位置,A點(diǎn)落在A′位置
∴∠BCB′=∠ACA′=20°
∵AC⊥A′B′,
∴∠BAC=∠A′=90°﹣20°=70°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)變化前后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.要注意旋轉(zhuǎn)的三要素:①定點(diǎn)﹣旋轉(zhuǎn)中心;②旋轉(zhuǎn)方向;③旋轉(zhuǎn)角度.
7.拋物線y=2x2﹣2 x+1與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】先計(jì)算判別式的值,然后根據(jù)判別式的意義判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解答】解:根據(jù)題意得△=(2 )2﹣4×2×1=0,
所以拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):△=b2﹣4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).
8.邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓的半徑為( )
A. a B. a C. a D. a
【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】根據(jù)等邊三角形的三線合一,可以構(gòu)造一個(gè)由其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成的30°的直角三角形,利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑即可.
【解答】解:∵內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成一個(gè)30°的直角三角形,
則∠OBD=30°,BD= ,
∴tan∠BOD= = ,
∴內(nèi)切圓半徑OD= × = a.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓,注意:根據(jù)等邊三角形的三線合一,可以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊正好組成了一個(gè)30°的直角三角形.
9.如圖,過(guò)反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上一點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,連接AO,若S△AOB=2,則k的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,即可得出關(guān)于k的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程,解方程求出k值,再結(jié)合反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)有圖象即可確定k值.
【解答】解:∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y= 圖象上一點(diǎn),且AB⊥x軸于點(diǎn)B,
∴S△AOB= |k|=2,
解得:k=±4.
∵反比例函數(shù)在第一象限有圖象,
∴k=4.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,解題的關(guān)鍵是找出關(guān)于k的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義找出關(guān)于k的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程是關(guān)鍵.
10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣3,6)、B(﹣9,﹣3),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為 ,把△ABO縮小,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( )
A.(﹣1,2) B.(﹣9,18) C.(﹣9,18)或(9,﹣18) D.(﹣1,2)或(1,﹣2)
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k解答.
【解答】解:∵點(diǎn)A(﹣3,6),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為 ,把△ABO縮小,
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(﹣1,2)或(1,﹣2),
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì),在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k.
11.如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上的點(diǎn),且OC∥BD,AD分別與BC,OC相交于點(diǎn)E,F(xiàn),則下列結(jié)論:①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③BC平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】圓周角定理;三角形中位線定理;垂徑定理.
【分析】由圓周角定理可判斷①,利用圓的性質(zhì)結(jié)合外角可判斷②,利用平行線的性質(zhì)可判斷③,由垂徑定理可判斷④,由中位線定理可判斷⑤,可求得答案.
【解答】解:
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BD,故①正確;
∵∠ACE=∠DAB+∠EBA,∠AOC=2∠EBA,
∴∠AOC≠∠AEC,故②不正確;
∵OC∥BD,
∴∠OCB=∠CBD,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC=∠CBD,即BC平分∠ABD,故③正確;
∴OC⊥AD,
∴AF=FD,故④正確;
∴OF為△ABD的中位線,
∴BD=2OF,故⑤正確,
綜上可知正確的有4個(gè),
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理及圓的有關(guān)性質(zhì),掌握?qǐng)A中有關(guān)的線段、角的相等是解題的關(guān)鍵,特別注意垂徑定理的應(yīng)用.
12.已知拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,6),且拋物線的對(duì)稱軸與線段BC有交點(diǎn),其中點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)C(3,0),則c的值不可能是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】根據(jù)拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過(guò)點(diǎn)A(2,6),且拋物線的對(duì)稱軸與線段BC(1≤x≤3)有交點(diǎn),可以得到c的取值范圍,從而可以解答本題.
【解答】解:
∵拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過(guò)點(diǎn)A(2,6),且拋物線的對(duì)稱軸與線段y=0(1≤x≤3)有交點(diǎn),
∴ ,
解得6≤c≤14,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式,明確題意,列出相應(yīng)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本題共6小題,每小題3分,共18分)
13.二次函數(shù)y=2(x﹣3)2﹣4的最小值為 ﹣4 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.
【分析】題中所給的解析式為頂點(diǎn)式,可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo),從而得出解答.
【解答】解:二次函數(shù)y=2(x﹣3)2﹣4的開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,﹣4),
所以最小值為﹣4.
故答案為:﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,若題目給出是一般式則需進(jìn)行配方化為頂點(diǎn)式或者直接運(yùn)用頂點(diǎn)公式.
14.△ABC與△DEF的相似比為1:4,則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為 1:4 .
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比解答.
【解答】解:∵△ABC與△DEF的相似比為1:4,
∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為1:4.
故答案為:1:4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì),熟記相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.
15.若反比例函數(shù)y= 在第一,三象限,則k的取值范圍是 k>1 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)在第一,三象限得到k﹣1>0,求解即可.
【解答】解:根據(jù)題意,得k﹣1>0,
解得k>1.
故答案為:k>1.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)圖象位于第一、三象限,當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)圖象位于第二、四象限.
16.如圖,若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對(duì)邊CD相切于點(diǎn)D,則∠C= 45 度.
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】連接OD,只要證明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°,再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等即可解決問題.
【解答】解;連接OD.
∵CD是⊙O切線,
∴OD⊥CD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴AB⊥OD,
∴∠AOD=90°,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO=45°,
∴∠C=∠A=45°.
故答案為45.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,屬于中考??碱}型.
17.如圖,矩形EFGH內(nèi)接于△ABC,且邊FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF= EH,那么EH的長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【分析】設(shè)EH=3x,表示出EF,由AD﹣EF表示出三角形AEH的邊EH上的高,根據(jù)三角形AEH與三角形ABC相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值,即為EH的長(zhǎng).
【解答】解:如圖所示:
∵四邊形EFGH是矩形,
∴EH∥BC,
∴△AEH∽△ABC,
∵AM⊥EH,AD⊥BC,
∴ ,
設(shè)EH=3x,則有EF=2x,AM=AD﹣EF=2﹣2x,
∴ ,
解得:x= ,
則EH= .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及矩形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
18.如圖所示,△ABC與點(diǎn)O在10×10的網(wǎng)格中的位置如圖所示,設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.
(1)畫出△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的圖形;
(2)若⊙M能蓋住△ABC,則⊙M的半徑最小值為 .
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【分析】(1)延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D使OD=OA,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,同樣方法作出點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F,則△DEF與△ABC關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱;
(2)作AB和AC的垂值平分線,它們的交點(diǎn)為△ABC的外心,而△ABC的外接圓為能蓋住△ABC的最小圓,然后利用勾股定理計(jì)算出MA即可.
【解答】解:(1)如圖,△DEF為所作;
(2)如圖,點(diǎn)M為△ABC的外心,MA= = ,
故答案為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角,對(duì)應(yīng)線段也相等,由此可以通過(guò)作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對(duì)應(yīng)點(diǎn),順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.
三、解答題(本題共7小題,共66分)
19.已知正比例函數(shù)y1=kx的圖象與反比例函數(shù)y2= (k為常數(shù),k≠5且k≠0)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2.
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)求這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【分析】(1)把交點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,列出一元一次方程,解方程即可;
(2)根據(jù)題意列出二元一次方程組,解方程組即可.
【解答】解:(1)∵正比例函數(shù)y1=kx的圖象與反比例函數(shù)y2= (k為常數(shù),k≠5且k≠0)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,
∴y1=2k,y2= ,
∵y1=y2,
∴2k= ,
解得,k=1,
則正比例函數(shù)y1=x的圖象與反比例函數(shù)y2= ;
(2) ,
解得, , ,
∴這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)和(﹣2,﹣2).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、掌握正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)的求法是解題的關(guān)鍵.
20.在校園文化藝術(shù)節(jié)中,九年級(jí)一班有1名男生和2名女生獲得美術(shù)獎(jiǎng),另有2名男生和2名女生獲得音樂獎(jiǎng).
(1)從獲得美術(shù)獎(jiǎng)和音樂獎(jiǎng)的7名學(xué)生中選取1名參加頒獎(jiǎng)大會(huì),求剛好是男生的概率;
(2)分別從獲得美術(shù)獎(jiǎng)、音樂獎(jiǎng)的學(xué)生中各選取1名參加頒獎(jiǎng)大會(huì),用列表或樹狀圖求剛好是一男生一女生的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法;概率公式.
【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解;
(2)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù),再找出剛好是一男生一女生的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解:(1)從獲得美術(shù)獎(jiǎng)和音樂獎(jiǎng)的7名學(xué)生中選取1名參加頒獎(jiǎng)大會(huì),剛好是男生的概率= = ;
(2)畫樹狀圖為:
共有12種等可能的結(jié)果數(shù),其中剛好是一男生一女生的結(jié)果數(shù)為6,
所以剛好是一男生一女生的概率= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n,再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,求出概率.
21.(10分)(2016秋•天津期末)如圖,矩形ABCD中,AB= ,BC= ,點(diǎn)E在對(duì)角線BD上,且BE=1.8,連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F.
(1)求CF的長(zhǎng);
(2)求 的值.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出BD,得到DE的長(zhǎng),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式,代入計(jì)算即可求出DF的長(zhǎng),求出CF的長(zhǎng)度;
(2)利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出答案.
【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,又AB= ,BC= ,
∴BD= =3,
∵BE=1.8,
∴DE=3﹣1.8=1.2,
∵AB∥CD,
∴ = ,即 = ,
解得,DF= ,
則CF=CD﹣DF= ﹣ = ;
(2)∵AB∥CD,
∴△DEF∽△BEA,
∴ =( )2=( )2= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),掌握矩形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
22.(10分)(2016•南寧)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分線,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的判定.
【分析】(1)連接OD,由BD為角平分線得到一對(duì)角相等,根據(jù)OB=OD,等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,進(jìn)而確定出OD與BC平行,利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑,即可得證;
(2)過(guò)O作OG垂直于BE,可得出四邊形ODCG為矩形,在直角三角形OBG中,利用勾股定理求出BG的長(zhǎng),由垂徑定理可得BE=2BG.
【解答】(1)證明:連接OD,
∵BD為∠ABC平分線,
∴∠1=∠2,
∵OB=OD,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OD∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ODA=90°,
則AC為圓O的切線;
(2)解:過(guò)O作OG⊥BC,連接OE,
∴四邊形ODCG為矩形,
∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,
在Rt△OBG中,利用勾股定理得:BG=6,
∵OG⊥BE,OB=OE,
∴BE=2BG=12.
解得:BE=12.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì),以及等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
23.(10分)(2014•塘沽區(qū)二模)某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具,購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:在一段時(shí)間內(nèi),銷售單價(jià)是40元時(shí),銷售是600件,而銷售單價(jià)每漲1元,就會(huì)少售出10件玩具.設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元(x>40),銷售量為y件,銷售該品牌玩具獲得的利潤(rùn)為w元.
(Ⅰ)根據(jù)題意,填寫下表:
銷售單價(jià)x(元) 40 55 70 … x
銷售量y(件) 600 450 300 … 1000﹣10x
銷售玩具獲得利潤(rùn)w(元) 6000 11250 12000 … (1000﹣10x)(x﹣30)
(Ⅱ)在(Ⅰ)問條件下,若商場(chǎng)獲得了10000元銷售利潤(rùn),求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元?
(Ⅲ)在(Ⅰ)問條件下,求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少?此時(shí)玩具的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用;一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(Ⅰ)利用銷售單價(jià)每漲1元,就會(huì)少售出10件玩具,再結(jié)合每件玩具的利潤(rùn)乘以銷量=總利潤(rùn)進(jìn)而求出即可;
(Ⅱ)利用商場(chǎng)獲得了10000元銷售利潤(rùn),進(jìn)而得出等式求出即可;
(Ⅲ)利用每件玩具的利潤(rùn)乘以銷量=總利潤(rùn)得出函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而求出最值即可.
【解答】解:(1)填表:
銷售單價(jià)x(元) 40 55 70 … x
銷售量y(件) 600 450 300 … 1000﹣10x
銷售玩具獲得利潤(rùn)w(元) 6000 11250 12000 … (1000﹣10x)(x﹣30)
(Ⅱ)[600﹣10(x﹣40)](x﹣30)=10000,
解得:x1=50,x2=80,
答:該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為50元或80元;
(Ⅲ)w=[600﹣10(x﹣40)](x﹣30)=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250,
∵a=﹣10<0,
∴對(duì)稱軸為x=65,
∴當(dāng)x=65時(shí),W最大值=12250(元)
答:商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是12250元,此時(shí)玩具的銷售單價(jià)應(yīng)定為65元.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用,得出w與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.
24.(10分)(2016秋•天津期末)如圖1所示,將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2,寬為1的長(zhǎng)方形CEFD拼在一起,構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形ABEF,現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)當(dāng)邊CD′恰好經(jīng)過(guò)EF的中點(diǎn)H時(shí),求旋轉(zhuǎn)角α的大小;
(2)如圖2,G為BC中點(diǎn),且0°<α<90°,求證:GD′=E′D;
(3)小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中,△DCD′與△BCD′能否全等?若能,直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的大小;若不能,說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CH=1,即可得出結(jié)論;
(2)由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′CE,則∠GCD′=∠DCE′=90°+α,然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD,則GD′=E′D;
(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD,而CD=CD′,則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形,當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)龋?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí),可計(jì)算出α=135°,當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí),可計(jì)算得到α=315°.
【解答】(1)解:
∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,
∴CE=CH=1,
∴△CEH為等腰直角三角形,∴∠ECH=45°,∴∠α=30°;
(2)證明:∵G為BC中點(diǎn),
∴CG=1,
∴CG=CE,
∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,
∴∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′=CG,
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α,
在△GCD′和△E′CD中 ,
∴△GCD′≌△E′CD(SAS),
∴GD′=E′D;
(3)解:能.
理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴CB=CD,
∵CD′=CD′,
∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形,
當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí),△BCD′≌△DCD′,
當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí),則旋轉(zhuǎn)角α= =135°,
當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí),∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°
則α=360°﹣ =315°,
即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí),△BCD′與△DCD′全等
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì).
25.(10分)(2016•昆明)如圖1,對(duì)稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過(guò)B(2,0)、C(0,4)兩點(diǎn),拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;
(3)如圖2,若M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),在x軸是否存在這樣的點(diǎn)Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由對(duì)稱軸的對(duì)稱性得出點(diǎn)A的坐標(biāo),由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面積S,化簡(jiǎn)后是一個(gè)關(guān)于S的二次函數(shù),求最值即可;
(3)畫出符合條件的Q點(diǎn),只有一種,①利用平行相似得對(duì)應(yīng)高的比和對(duì)應(yīng)邊的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;兩方程式組成方程組求解并取舍.
【解答】解:(1)由對(duì)稱性得:A(﹣1,0),
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x﹣2),
把C(0,4)代入:4=﹣2a,
a=﹣2,
∴y=﹣2(x+1)(x﹣2),
∴拋物線的解析式為:y=﹣2x2+2x+4;
(2)如圖1,設(shè)點(diǎn)P(m,﹣2m2+2m+4),過(guò)P作PD⊥x軸,垂足為D,
∴S=S梯形+S△PDB= m(﹣2m2+2m+4+4)+ (﹣2m2+2m+4)(2﹣m),
S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6,
∵﹣2<0,
∴S有最大值,則S大=6;
(3)存在這樣的點(diǎn)Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形,
理由是:
分以下兩種情況:
?、佼?dāng)∠BQM=90°時(shí),如圖2:
∵∠CMQ>90°,
∴只能CM=MQ.
設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b(k≠0),
把B(2,0)、C(0,4)代入得: ,
解得: ,
∴直線BC的解析式為:y=﹣2x+4,
設(shè)M(m,﹣2m+4),
則MQ=﹣2m+4,OQ=m,BQ=2﹣m,
在Rt△OBC中,BC= = =2 ,
∵M(jìn)Q∥OC,
∴△BMQ∽BCO,
∴ ,即 ,
∴BM= (2﹣m)=2 ﹣ m,
∴CM=BC﹣BM=2 ﹣(2 ﹣ m)= m,
∵CM=MQ,
∴﹣2m+4= m,m= =4 ﹣8.
∴Q(4 ﹣8,0).
②當(dāng)∠QMB=90°時(shí),如圖3:
同理可設(shè)M(m,﹣2m+4),
過(guò)A作AE⊥BC,垂足為E,
則AE的解析式為:y= x+ ,
則直線BC與直線AE的交點(diǎn)E(1.4,1.2),
設(shè)Q(﹣x,0)(x>0),
∵AE∥QM,
∴△ABE∽△QBM,
∴ ①,
由勾股定理得:x2+42=2×[m2+(﹣2m+4﹣4)2]②,
由以上兩式得:m1=4(舍),m2= ,
當(dāng)m= 時(shí),x= ,
∴Q(﹣ ,0).
綜上所述,Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4 ﹣8,0)或(﹣ ,0).
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合問題,綜合性較強(qiáng);考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,并利用方程組求圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),將函數(shù)和方程有機(jī)地結(jié)合,進(jìn)一步把函數(shù)簡(jiǎn)單化;同時(shí)還考查了相似的性質(zhì):在二次函數(shù)的問題中,如果利用勾股定理不能求的邊可以考慮利用相似的性質(zhì)求解.
看了“2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷”的人還看了:
2.2017七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末測(cè)試題