2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期末試卷(2)
2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期末試卷
2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期末試卷參考答案
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1. 的倒數(shù)是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì).
【分析】 的倒數(shù)是 ,但 的分母需要有理化.
【解答】解:因?yàn)椋?的倒數(shù)是 ,而 =
故:選D
2.下列運(yùn)算中,正確的是( )
A.2x+2y=2xy B.(x2y3)2=x4y5 C.(xy)2÷ =(xy)3 D.2xy﹣3yx=xy
【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方;合并同類項(xiàng);分式的乘除法.
【分析】分別利用合并同類項(xiàng)法則以及分式除法運(yùn)算和積的乘方運(yùn)算得出即可.
【解答】解:A、2x+2y無法計(jì)算,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、(x2y3)2=x4y6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、此選項(xiàng)正確;
D、2xy﹣3yx=﹣xy,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:C.
3.反比例函數(shù)y= 的圖象,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,則k的取值范圍是( )
A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小得出關(guān)于k的不等式,求出k的取值范圍即可.
【解答】解:∵反比例函數(shù)y= 中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,
∴k﹣2>0,
解得k>2.
故選C.
4.如圖所示的由六個(gè)小正方體組成的幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖.
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可,注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.
【解答】解:從上面看易得左邊第一列有3個(gè)正方形,中間第二列有1個(gè)正方形,最右邊一列有1個(gè)正方形.
故選D.
5.松北某超市今年一月份的營業(yè)額為50萬元.三月份的營業(yè)額為72萬元.則二、三兩個(gè)月平均每月營業(yè)額的增長率是( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】可設(shè)增長率為x,那么三月份的營業(yè)額可表示為50(1+x)2,已知三月份營業(yè)額為72萬元,即可列出方程,從而求解.
【解答】解:設(shè)增長率為x,根據(jù)題意得50(1+x)2=72,
解得x=﹣2.2(不合題意舍去),x=0.2,
所以每月的增長率應(yīng)為20%,
故選:B.
6.若將拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位,所得拋物線的解析式為( )
A.y=2x2+3 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣3)2 D.y=2(x+3)2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】直接根據(jù)“上加下減、左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.
【解答】解:由“上加下減”的原則可知,將二次函數(shù)y=2x2向上平移3個(gè)單位可得到函數(shù)y=2x2+3,
故選:A.
7.如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊(E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)),使點(diǎn)B與四邊形CDEF內(nèi)一點(diǎn)B′重合,若∠B′FC=50°,則∠AEF等于( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì);翻折變換(折疊問題).
【分析】先根據(jù)平角的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可求出∠EFB′的度數(shù),再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.
【解答】解:∵四邊形A′EFB′是四邊形ABFE折疊而成,
∴∠BFE=∠EFB′,
∵∠B'FC=50°,
∴∠EFB= = =65°,
∵AD∥BC,
∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°.
故選B.
8.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=4,sinA= ,那么AC邊的長是( )
A.6 B.2 C.3 D.2
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及勾股定理求解.
【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,BC=4,
∴sinA= = = ,
∴AB=6.
∴AC= =2 .
故選B.
9.如圖,DE∥BC,分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)D、E, = ,若AE=1,則EC=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 = ,即 = ,然后利用比例性質(zhì)求EC.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ = ,即 = ,
∴EC=2.
故選A.
10.甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛(中途不停留),前往終點(diǎn)B地,甲、乙兩車之間的距離S(千米)與甲車行駛的時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法:
?、偌?、乙兩地相距210千米;
?、诩姿俣葹?0千米/小時(shí);
?、垡宜俣葹?20千米/小時(shí);
④乙車共行駛3 小時(shí),
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以分別計(jì)算出各個(gè)小題中的結(jié)果,從而可以判斷各小題是否正確,從而可以解答本題.
【解答】解:由圖可知,
甲車的速度為:60÷1=60千米/時(shí),故②正確,
則A、B兩地的距離是:60× =210(千米),故①正確,
則乙的速度為:(60×2)÷(2﹣1)=120千米/時(shí),故③正確,
乙車行駛的時(shí)間為:2 ﹣1=1 (小時(shí)),故④錯(cuò)誤,
故選C.
二、填空題(每小題3分,共30分)
11.數(shù)字12800000用科學(xué)記數(shù)法表示為 1.28×107 .
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).
【解答】解:將12800000用科學(xué)記數(shù)法表示為:1.28×107.
故答案為:1.28×107.
12.函數(shù)y= 中,自變量x的取值范圍是 x≠﹣2 .
【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)分母不等于0列式計(jì)算即可得解.
【解答】解:根據(jù)題意得x+2≠0,
解得x≠﹣2.
故答案為:x≠﹣2.
13.計(jì)算: = ﹣ .
【考點(diǎn)】二次根式的加減法.
【分析】二次根式的加減運(yùn)算,先化為最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.
【解答】解:原式=2 ﹣3 =﹣ .
14.把多項(xiàng)式2m2﹣8n2分解因式的結(jié)果是 2(m+2n)(m﹣2n) .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】直接提取公因式2,進(jìn)而利用平方差公式分解即可.
【解答】解:2m2﹣8n2=2(m2﹣4n2)=2(m+2n)(m﹣2n).
故答案為:2(m+2n)(m﹣2n).
15.不等式組 的解集為 ﹣2≤x< .
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組.
【分析】先求出每個(gè)不等式的解集,再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可.
【解答】解:
∵解不等式①得:x≥﹣2,
解不等式②得:x< ,
∴不等式組的解集為﹣2≤x< ,
故答案為:﹣2≤x< .
16.分式方程 = 的解為x= 3 .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:2x﹣2=x+1,
解得:x=3,
經(jīng)檢驗(yàn)x=3是分式方程的解,
故答案為:3
17.若弧長為4π的扇形的圓心角為直角,則該扇形的半徑為 8 .
【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算.
【分析】利用扇形的弧長公式表示出扇形的弧長,將已知的圓心角及弧長代入,即可求出扇形的半徑.
【解答】解:∵扇形的圓心角為90°,弧長為4π,
∴l= ,
即4π= ,
則扇形的半徑r=8.
故答案為:8.
18.已知,平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),一次函數(shù)y= x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,則△AOB的面積= 4 .
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵一次函數(shù)y= x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,
∴A(﹣4,0),B(0,2),
∴△AOB的面積= ×2×4=4.
故答案為:4.
19.已知,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于E,交AC所在直線于P,若∠APE=54°,則∠B= 72°或18° .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的兩種情況,推出AP=BP,推出∠BAC=∠ABP,求出∠BAC的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)即可.
【解答】解:分為兩種情況:
①如圖1,
∵PE是AB的垂直平分線,
∴AP=BP,
∴∠A=∠ABP,∠APE=∠BPE=54°,
∴∠A=∠ABP=36°,
∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC= =72°;
②如圖2,
∵PE是AB的垂直平分線,
∴AP=BP,
∴∠PAB=∠ABP,∠APE=∠BPE=54°,
∴∠PAB=∠ABP=36°,
∴∠BAC=144°,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC= =18°,
故答案為:72°或18°.
20.如圖,△ABC中,CD是AB邊上的高,AC=8,∠ACD=30°,tan∠ACB= ,點(diǎn)P為CD上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)BP+ CP最小時(shí),DP= 5 .
【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題;解直角三角形.
【分析】如圖,作PE⊥AC于E,BE′⊥AC于E′交CD于P′.易知PB+ PC=PB+PE,所以當(dāng)BE′⊥AC時(shí),PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小,由tan∠ACB= = ,設(shè)BE′=5 ,CE′=3k,則AE′=8﹣3k,AB=16﹣6k,BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k,根據(jù)BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2,列出方程求出k,即可解決問題.
【解答】解:如圖,作PE⊥AC于E,BE′⊥AC于E′交CD于P′.
∵CD⊥AB,∠ACD=30°,∠PEC=90°,AC=8,
∴PE= PC,∠A=60°,∠ABE′=30°,AD=4,CD=4 ,
∴PB+ PC=PB+PE,
∴當(dāng)BE′⊥AC時(shí),PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小,
∵tan∠ACB= = ,設(shè)BE′=5 ,CE′=3k,
∴AE′=8﹣3k,AB=16﹣6k,BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k,
∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2,
∴(12﹣6k)2+48=9k2+75k2,
整理得k2+3k﹣4=0,
∴k=1或﹣4(舍棄),
∴BE′=5 ,
∴PB+ PC的最小值為5 .
故答案為5 .
三、解答題(21、22小題各7分,23、24小題各8分,25、26、27小題各10分,共60分)
21.先化簡,再求代數(shù)式 ÷(1﹣ )的值,其中x=2sin45°﹣tan45°.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】先化簡題目中的式子,然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題.
【解答】解: ÷(1﹣ )
=
=
= ,
當(dāng)x=2sin45°﹣tan45°=2× ﹣1= ,
原式= .
22.如圖,是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱之為格點(diǎn),點(diǎn)A、C、E、F均在格點(diǎn)上,根據(jù)不同要求,選擇格點(diǎn),畫出符合條件的圖形:
(1)在圖1中,畫一個(gè)以AC為一邊的△ABC,使∠ABC=45°(畫出一個(gè)即可);
(2)在圖2中,畫一個(gè)以EF為一邊的△DEF,使tan∠EDF= ,并直接寫出線段DF的長.
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖;銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn),AB在水平格線上,BC為4×4的正方形的對角線;
(2)由于tan∠EDF= ,則在含∠D的直角三角形中,滿足對邊與鄰邊之比為1:2即可.
【解答】解:(1)如圖1,△ABC為所作;
(2)如圖2,△DEF為所作,DF= =4 .
23.為便于管理與場地安排,松北某中學(xué)校以小明所在班級(jí)為例,對學(xué)生參加各個(gè)體育項(xiàng)目進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì).并把調(diào)查的結(jié)果繪制了如圖所示的不完全統(tǒng)計(jì)圖,請你根據(jù)下列信息回答問題:
(1)在這次調(diào)查中,小明所在的班級(jí)參加籃球項(xiàng)目的同學(xué)有多少人?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)如果學(xué)校有800名學(xué)生,請估計(jì)全校學(xué)生中有多少人參加籃球項(xiàng)目.
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)根據(jù)跳繩人數(shù)除以跳繩人數(shù)所占的百分比,可得抽查總?cè)藬?shù),根據(jù)有理數(shù)的減法,可得參加籃球項(xiàng)目的人數(shù),根據(jù)參加籃球項(xiàng)目的人數(shù),可得答案;
(2)根據(jù)全校學(xué)生人數(shù)乘以參加籃球項(xiàng)目所占的百分比,可得答案.
【解答】解:(1)抽查總?cè)藬?shù)是:20÷40%=50(人),
參加籃球項(xiàng)目的人數(shù)是:50﹣20﹣10﹣15=5(人),
即小明所在的班級(jí)參加籃球項(xiàng)目的同學(xué)有5人,
補(bǔ)全條形圖如下:
(2)800× =80(人).
答:估計(jì)全校學(xué)生中大約有80人參加籃球項(xiàng)目.
24.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD為△ABC的中線,作CO⊥AB于O,點(diǎn)E在CO延長線上,DE=AD,連接BE、DE.
(1)求證:四邊形BCDE為菱形;
(2)把△ABC分割成三個(gè)全等的三角形,需要兩條分割線段,若AC=6,求兩條分割線段長度的和.
【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)容易證三角形BCD為等邊三角形,又DE=AD=BD,再證三角形DBE為等邊三角形四邊相等的四邊形BCDE為菱形.
(2)畫出圖形,證出BM+MN=AM+MC=AC=6即可.
【解答】(1)證明:∵∠ACB=90°,∠A=30°,CD為△ABC的中線,
∴BC= AB,CD= AB=AD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠BDC=30°+30°=60°,
∴△BCD是等邊三角形,
∵CO⊥AB,
∴OD=OB,
∴DE=BE,
∵DE=AD,
∴CD=BC=DE=BE,
∴四邊形BCDE為菱形;
(2)解:作∠ABC的平分線交AC于N,再作MN⊥AB于N,如圖所示:
則MN=MC= BM,∠ABM=∠A=30°,
∴AM=BM,
∵AC=6,
∴BM+MN=AM+MC=AC=6;
即兩條分割線段長度的和為6.
25.某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場,就用0.8萬元購進(jìn)這種襯衫,面市后果然供不應(yīng)求.于是,商廈又用1.76萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍,但單價(jià)貴了4元,商廈銷售這種襯衫時(shí)每件預(yù)定售價(jià)都是58元.
(1)求這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件多少元?
(2)經(jīng)過一段時(shí)間銷售,根據(jù)市場飽和情況,商廈經(jīng)理決定對剩余的100件襯衫進(jìn)行打折銷售,以提高回款速度,要使這兩批襯衫的總利潤不少于6300元,最多可以打幾折?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件x元.根據(jù)“用1.76萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍,但單價(jià)貴了4元”列出方程并解答,注意需要驗(yàn)根;
(2)設(shè)打m折,根據(jù)題意列出不等式即可.
【解答】解:(1)設(shè)這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件x元
= ,
解得:x=40.
經(jīng)檢驗(yàn):x=40是原分式方程的解,
答:這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件40元;
(2)設(shè)打m折,
8000÷40×3=600,58=29000,
29000+58×100× ≥8000+17600+6300,
解得:m≥5.
答:最多可以打5折.
26.已知,AB、AC是圓O的兩條弦,AB=AC,過圓心O作OH⊥AC于點(diǎn)H.
(1)如圖1,求證:∠B=∠C;
(2)如圖2,當(dāng)H、O、B三點(diǎn)在一條直線上時(shí),求∠BAC的度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)E為劣弧BC上一點(diǎn),CE=6,CH=7,連接BC、OE交于點(diǎn)D,求BE的長和 的值.
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】(1)如圖1中,連接OA.欲證明∠B=∠C,只要證明△AOC≌△AOB即可.
(2)由OH⊥AC,推出AH=CH,由H、O、B在一條直線上,推出BH垂直平分AC,推出AB=BC,由AB=AC,推出AB=AC=BC,推出△ABC為等邊三角形,即可解決問題.
(3)過點(diǎn)B作BM⊥CE延長線于M,過E、O作EN⊥BC于N,OK⊥BC于K.設(shè)ME=x,則BE=2x,BM= x,在△BCM中,根據(jù)BC2=BM2+CM2,可得BM=5 ,推出sin∠BCM= = ,推出NE= ,OK= CK= ,由NE∥OK,推出DE:OD=NE:OK即可解決問題.
【解答】證明:(1)如圖1中,連接OA.
∵AB=AC,
∴ = ,
∴∠AOC=∠AOB,
在△AOC和△AOB中,
,
∴△AOC≌△AOB,
∴∠B=∠C.
解:(2)連接BC,
∵OH⊥AC,
∴AH=CH,
∵H、O、B在一條直線上,
∴BH垂直平分AC,
∴AB=BC,∵AB=AC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC為等邊三角形,
∴∠BAC=60°.
解:(3)過點(diǎn)B作BM⊥CE延長線于M,過E、O作EN⊥BC于N,OK⊥BC于K.
∵CH=7,
∴BC=AC=14,
設(shè)ME=x,
∵∠CEB=120°,
∴∠BEM=60°,
∴BE=2x,
∴BM= x,
△BCM中,∵BC2=BM2+CM2,
∴142=( x)2+(6+x)2,
∴x=5或﹣8(舍棄),
∴BM=5 ,
∴sin∠BCM= = ,
∴NE= ,
∴OK= CK= ,
∵NE∥OK,
∴DE:OD=NE:OK=45:49.
27.如圖,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于點(diǎn)A、B(A左B右),交y軸于點(diǎn)C,S△ABC=6,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若∠PCB=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,連接PC、AQ,當(dāng)PC= AQ時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及△PCQ的面積.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式;
(2)先判斷出∠OBC=45°,而點(diǎn)P在第一象限,所以得出CP∥OB即:點(diǎn)P和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)一樣,即可確定出點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)根據(jù)點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)Q在第二象限,且橫坐標(biāo)相差1,進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P(3﹣m,﹣m2+4m)(0
【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x+1)(x﹣3),
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3a),
∴AB=4,OC=|﹣3a|=|3a|,
∵S△ABC=6,
∴ AB•OC=6,
∴ ×4×|3a|=6,
∴a=﹣1或a=1(舍),
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)由(1)知,B(3,0),C(0,﹣3a),
∴C(0,3),
∴OB=3,OC=3,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠BCO=∠OBC=45°,
∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且∠PCB=45°,
∴PC∥OB,
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,
由(1)知,拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,
令y=3,∴﹣x2+2x+3=3,
∴x=0(舍)或x=2,
∴P(2,3);
(3)如圖2,過點(diǎn)P作PD⊥x軸交CQ于D,設(shè)P(3﹣m,﹣m2+4m)(0
∵C(0,3),
∴PC2=(3﹣m)2+(﹣m2+4m﹣3)2=(m﹣3)2[(m﹣1)2+1],
∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,
∴Q(4﹣m,﹣m2+6m﹣5),
∵A(﹣1,0).
∴AQ2=(4﹣m+1)2+(﹣m2+6m﹣5)2=(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]
∵PC= AQ,
∴81PC2=25AQ2,
∴81(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]=25(m﹣5)2[(m﹣1)2+1],
∵0
∴[(m﹣1)2+1]≠0,
∴81(m﹣3)2=25(m﹣5)2,
∴9(m﹣3)=±5(m﹣5),
∴m= 或m= (舍),
∴P( , ),Q( ,﹣ ),
∵C(0,3),
∴直線CQ的解析式為y=﹣ x+3,
∵P( , ),
∴D( ,﹣ ),
∴PD= + = ,
∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD= PD×xP+ PD×(xQ﹣xP)= PD×xQ= × × = .
28.如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn),直線y=﹣ x+3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)E′落在y軸上?若存在,請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF,然后列方程求解;
(3)解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形,然后根據(jù)PE=CE的條件,列出方程求解;當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí),P點(diǎn)y軸上,即可得到點(diǎn)P坐標(biāo).
【解答】解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A (﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn),
∴ 解得 ,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5.
(2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣ m+3),F(xiàn)(m,0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|,
EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.
由題意,PE=5EF,即:|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=|﹣ m+15|
?、偃舂乵2+ m+2=﹣ m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,
解得:m=2或m= ;
?、谌舂乵2+ m+2=﹣(﹣ m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,
解得:m= 或m= .
由題意,m的取值范圍為:﹣1
∴m=2或m= .
(3)假設(shè)存在.
作出示意圖如下:
∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對稱,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y軸,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四邊形PECE′是菱形.
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí),
由直線CD解析式y(tǒng)=﹣ x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
過點(diǎn)E作EM∥x軸,交y軸于點(diǎn)M,易得△CEM∽△CDO,
∴ = =,即 = ,解得CE= |m|,
∴PE=CE= |m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+ m+2|
∴|﹣m2+ m+2|= |m|.
?、偃舂乵2+ m+2= m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣ ;
?、谌舂乵2+ m+2=﹣ m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+ ,m2=3﹣ .
由題意,m的取值范圍為:﹣1
當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí),
此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,E,C,E'三點(diǎn)重合與y軸上,也符合題意,
∴P(0,5)
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,5)或(﹣ , )或(4,5)或(3﹣ ,2 ﹣3).
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