2017初三數(shù)學(xué)上期末考試卷及答案(2)
2017初三數(shù)學(xué)上期末考試卷及答案
2017初三數(shù)學(xué)上期末考試卷參考答案
一、選擇題(本題共8小題，每小題3分，共24分)
1.如圖，△ABC中，D，E兩點(diǎn)分別在AB，AC邊上，且DE∥BC，如果 ，AC=6，那么AE的長(zhǎng)為( )
A.3 B.4 C.9 D.12
【考點(diǎn)】平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例.
【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，得到比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，又AC=6，
∴AE=4，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，正確運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
2.下列說(shuō)法正確的是( )
A.一個(gè)游戲中獎(jiǎng)的概率是 ，則做100次這樣的游戲一定會(huì)中獎(jiǎng)
B.為了了解全國(guó)中學(xué)生的心理健康狀況，應(yīng)采用普查的方式
C.一組數(shù)據(jù)0，1，2，1，1的眾數(shù)和中位數(shù)都是1
D.若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2=0.2，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2=0.5，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
【考點(diǎn)】概率的意義;全面調(diào)查與抽樣調(diào)查;中位數(shù);眾數(shù);方差.
【分析】根據(jù)概率、方差、眾數(shù)、中位數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【解答】A、一個(gè)游戲中獎(jiǎng)的概率是 ，則做100次這樣的游戲有可能中獎(jiǎng)一次，該說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、為了了解全國(guó)中學(xué)生的心理健康狀況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，該說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1，中位數(shù)是1，故本選項(xiàng)正確;
D、方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小，則甲組數(shù)據(jù)比乙組穩(wěn)定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率、方差、眾數(shù)、中位數(shù)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
3.某種藥品原價(jià)為36元/盒，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為25元/盒.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是( )
A.36(1﹣x)2=36﹣25 B.36(1﹣2x)=25 C.36(1﹣x)2=25 D.36(1﹣x2)=25
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.
【專(zhuān)題】增長(zhǎng)率問(wèn)題.
【分析】可先表示出第一次降價(jià)后的價(jià)格，那么第一次降價(jià)后的價(jià)格×(1﹣降低的百分率)=25，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.
【解答】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為36×(1﹣x)，兩次連續(xù)降價(jià)后售價(jià)在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降低x，
為36×(1﹣x)×(1﹣x)，
則列出的方程是36×(1﹣x)2=25.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b.
4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，則BC的長(zhǎng)為( )
A.4 B.2 C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)cosB= ，可得 = ，再把AB的長(zhǎng)代入可以計(jì)算出CB的長(zhǎng).
【解答】解：∵cosB= ，
∴ = ，
∵AB=6，
∴CB= ×6=4，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦.
5.兩個(gè)相似三角形的面積比為1：4，那么它們的周長(zhǎng)比為( )
A.1： B.2：1 C.1：4 D.1：2
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比解答即可.
【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積比為1：4，
∴它們的相似比為1：2，
∴它們的周長(zhǎng)比為1：2.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.
6.已知二次函數(shù)y=﹣(x+h)2，當(dāng)x<﹣3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>﹣3時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=0時(shí)，y的值為( )
A.﹣1 B.﹣9 C.1 D.9
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意可得二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=﹣3，進(jìn)而可得h的值，從而可得函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣(x﹣3)2，再把x=0代入函數(shù)解析式可得y的值.
【解答】解：由題意得：二次函數(shù)y=﹣(x+h)2的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣3，
故h=﹣3，
把h=﹣3代入二次函數(shù)y=﹣(x+h)2可得y=﹣(x﹣3)2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣9，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)定點(diǎn)式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k，對(duì)稱(chēng)軸為x=h.
7.如圖，線(xiàn)段AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于( )
A.20° B.30° C.35° D.70°
【考點(diǎn)】圓周角定理;垂徑定理.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】先根據(jù)垂徑定理得到 = ，然后根據(jù)圓周角定理得∠BAD= ∠BOC=35°.
【解答】解：∵弦CD⊥直徑AB，
∴ = ，
∴∠BAD= ∠BOC= ×70°=35°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了垂徑定理.
8.小明為了研究關(guān)于x的方程x2﹣|x|﹣k=0的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，先將該等式轉(zhuǎn)化為x2=|x|+k，再分別畫(huà)出函數(shù)y=x2的圖象與函數(shù)y=|x|+k的圖象(如圖)，當(dāng)方程有且只有四個(gè)根時(shí)，k的取值范圍是( )
A.k>0 B.﹣
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】直接利用根的判別式，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象得出k的取值范圍.
【解答】解：當(dāng)x>0時(shí)，y=x+k，y=x2，
則x2﹣x﹣k=0，
b2﹣4ac=1+4k>0，
解得：k>﹣ ，
當(dāng)x<0時(shí)，y=﹣x+k，y=x2，
則x2+x﹣k=0，
b2﹣4ac=1+4k>0，
解得：k>﹣ ，
如圖所示一次函數(shù)一部分要與二次函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則k<0，
故k的取值范圍是：﹣
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象綜合應(yīng)用，正確利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵.
二、填空題(本題共有10小題，每小題3分，共30分)
9.已知 = ，則 = ﹣ .
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】直接利用分比性質(zhì)計(jì)算即可.
【解答】解：∵ = ，
∴ = =﹣ .
故答案為﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積;合比性質(zhì);分比性質(zhì);合分比性質(zhì);等比性質(zhì).
10.已知圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為15π，則這個(gè)圓錐的高為 4 .
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算;勾股定理.
【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線(xiàn)長(zhǎng)÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求得母線(xiàn)長(zhǎng)，利用勾股定理即可求得圓錐的高.
【解答】解：設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為R，則15π=2π×3×R÷2，解得R=5，
∴圓錐的高= =4.
【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐側(cè)面積的求法;圓錐的高，母線(xiàn)長(zhǎng)，底面半徑組成直角三角形.
11.已知關(guān)于x的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的根，則k的值為 k>﹣3 .
【考點(diǎn)】根的判別式.
【分析】方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△>0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍.
【解答】解：由題意知，△=12+4k>0，
解得：k>﹣3.
故答案為：k>﹣3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式的知識(shí)，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
(1)△>0⇔方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
12.小明把如圖所示的平行四邊形紙板掛在墻上，完飛鏢游戲(每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都相等)，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是 .
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱(chēng)圖形;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出平行四邊形對(duì)角線(xiàn)所分的四個(gè)三角形面積相等，再求出S1=S2即可.
【解答】解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)把平行四邊形分成的四個(gè)面積相等的三角形，
根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得S1=S2，
則陰影部分的面積占 ，
則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是 .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何概率，以及中心對(duì)稱(chēng)圖形，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比，關(guān)鍵是根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出陰影部分的面積與總面積的比.
13.過(guò)圓O內(nèi)一點(diǎn)P的最長(zhǎng)的弦，最短弦的長(zhǎng)度分別是8cm，6cm，則OP= cm .
【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理.
【分析】根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，知該圓的直徑是8cm;最短弦即是過(guò)點(diǎn)P且垂直于過(guò)點(diǎn)P的直徑的弦;根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長(zhǎng).
【解答】解：如圖所示，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)P，
根據(jù)題意，得AB=8cm，CD=6cm，OC= AB=4cm，
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm.
根據(jù)勾股定理，得OP= = = (cm)，
故答案為： cm.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，能根據(jù)垂徑定理得出CP= CD是解此題的關(guān)鍵.
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，中線(xiàn)AD，CE相交于G，且CG=3，則AB= 9 .
【考點(diǎn)】三角形的重心;直角三角形斜邊上的中線(xiàn).
【分析】根據(jù)重心的概念得到點(diǎn)G是△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)求出GE，得到CE，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半解答即可.
【解答】解：∵中線(xiàn)AD，CE相交于G，
∴點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴GE= CG=1.5，
∴CE=CG+GE=4.5，
∵∠C=90°，CE是中線(xiàn)，
∴AB=2CE=9.
故答案為：9.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.
15.若函數(shù)y=mx2﹣6x+2的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m= 0或 .
【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn).
【專(zhuān)題】計(jì)算題;分類(lèi)討論.
【分析】根據(jù)函數(shù)y=mx2﹣6x+2的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)y=mx2﹣6x+2為一次函數(shù)或二次函數(shù)，若為一次函數(shù)則m=0，若為二次函數(shù)則(﹣6)2﹣4×2m=0，從而求得m的值.
【解答】解：分兩種情況：
?、偃魕=mx2﹣6x+2為一次函數(shù)，則m=0;
?、谌魕=mx2﹣6x+2為二次函數(shù)，則(﹣6)2﹣4×2m=0，
∴36﹣8m=0，解得m= ，
故答案為0或 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，當(dāng)不確定是什么函數(shù)時(shí)，要分類(lèi)討論.
16.已知(﹣3，m)、(1，m)是拋物線(xiàn)y=2x2+bx+3的兩點(diǎn)，則b= 4 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】由于兩點(diǎn)(﹣3，m)、(1，m)的縱坐標(biāo)相等，可得到它們是拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，于是得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣1，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到﹣ =﹣1，然后解方程即可.
【解答】解：∵(﹣3，m)、(1，m)是拋物線(xiàn)y=2x2+bx+3的兩點(diǎn)，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣1，
而拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)=﹣ ，
∴﹣ =﹣1，
∴b=4.
故答案為4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
17.如圖，菱形OCBA的頂點(diǎn)B，C在以點(diǎn)O為圓心的弧 上，若∠FOC=∠AOE，OA=1，則扇形OEF的面積為 .
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算;菱形的性質(zhì).
【分析】首先算出扇形OEF的圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式S= 進(jìn)行計(jì)算.
【解答】解：連接OB，
∵四邊形OABC為菱形，點(diǎn)B、C在以點(diǎn)O為圓心的 上，若OA=1，∠FOC=∠AOE，
∵OA=OB=AB，
∴三角形ABO為正三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠EOF=120°，
∴S扇形= = .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形面積的計(jì)算和菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等和扇形面積計(jì)算公式.
18.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)(1，﹣1)且不經(jīng)過(guò)第一象限，設(shè)m=k2﹣ b，則m的取值范圍是 ≤m< .
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意得出﹣1=k+b，k<0，b<0，進(jìn)而得出m=k2+ k+ =(k+ )2+ ，根據(jù)k的取值，即可求得m的取值范圍.
【解答】解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)(1，﹣1)且不經(jīng)過(guò)第一象限，
∴﹣1=k+b，k<0，b<0，
∴b=﹣1﹣k，
∵m=k2﹣ b，
∴m=k2+ k+ =(k+ )2+ ，
∴k=﹣ 時(shí)，m有最小值為 ，
∵k=0時(shí)，m= ，
∴ ≤m< .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)得出k的取值是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(本題共10小題，共96分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
19.(1)計(jì)算：﹣ +20160+|﹣3|+4cos30°
(2)解方程：x2+2x﹣8=0.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)各數(shù)進(jìn)而得出答案;
(2)直接利用因式分解法解方程得出答案.
【解答】解：(1)﹣ +20160+|﹣3|+4cos30°
=﹣2 +1+3+4×
=4;
(2)x2+2x﹣8=0
(x﹣4)(x+2)=0，
解得：x1=﹣2，x2=4.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解法解方程以及實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.
20.某校為了更好的開(kāi)展“學(xué)校特色體育教育”，從全校2015～2016學(xué)年度八年級(jí)各組隨機(jī)抽取了60名學(xué)生，進(jìn)行各項(xiàng)體育項(xiàng)目的測(cè)試，了解他們的身體素質(zhì)情況.下表是整理樣本數(shù)據(jù)，得到的關(guān)于每個(gè)個(gè)體的測(cè)試成績(jī)的部分統(tǒng)計(jì)表、圖：某校60名學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)頻數(shù)分布表
成績(jī) 劃記 頻數(shù) 百分比
優(yōu)秀 正正正
a 0.3
良好 正正正正正正 30 b
合格 正
9 0.15
不合格 c d
合計(jì)
(說(shuō)明：40﹣﹣﹣55分為不合格，55﹣﹣﹣70分為合格，70﹣﹣﹣85分為良好，85﹣﹣﹣100分為優(yōu)秀)請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
(1)表中的a= 18 ，b= 0.5 ;c= 3 ;d= 0.05
(2)請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表，畫(huà)出相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖.
【考點(diǎn)】頻數(shù)(率)分布直方圖;頻數(shù)(率)分布表.
【分析】(1)根據(jù)圖中的劃記即可確定a的值，然后根據(jù)頻率的計(jì)算公式求解;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果即可作出.
【解答】解：(1)a=18，
b= =0.5，
c=60﹣18﹣30﹣9=3，
d= =0.05.
故答案是：18，0.5，3，0.05;
(2)畫(huà)出的直方圖如圖所示
【點(diǎn)評(píng)】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力;利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀(guān)察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題.
21.如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求圖中陰影部分的面積.
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算;線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì);解直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得CE的長(zhǎng)，再根據(jù)已知DE平分AO得CO= AO= OE，解直角三角形求解.
(2)先求出扇形的圓心角，再根據(jù)扇形面積和三角形的面積公式計(jì)算即可.
【解答】解：(1)∵直徑AB⊥DE，
∴CE= DE= .
∵DE平分AO，
∴CO= AO= OE.
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO= = ，
∴∠CEO=30°.
在Rt△COE中，
OE= = =2.
∴⊙O的半徑為2.
(2)連接OF.
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°﹣45°=45°.
∴∠EOF=2∠D=90°.
∴S扇形OEF= ×π×22=π.
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴SRt△OEF= ×OE×OF=2.
∴S陰影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了垂徑定理和解直角三角形及扇形的面積公式.
22.在一個(gè)黑色的布口袋里裝著白、紅、黑三種顏色的小球，它們除了顏色之外沒(méi)有其它區(qū)別，其中白球2只、紅球1只、黑球1只.袋中的球已經(jīng)攪勻.
(1)隨機(jī)地從袋中摸出1只球，則摸出白球的概率是多少?
(2)隨機(jī)地從袋中摸出1只球，放回?cái)噭蛟倜龅诙€(gè)球.請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果，并求兩次都摸出白球的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)讓白球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即可;
(2)2次實(shí)驗(yàn)，每次都是4種結(jié)果，列舉出所有情況即可.
【解答】解：(1)摸出白球的概率是 ;
(2)列舉所有等可能的結(jié)果，畫(huà)樹(shù)狀圖：
∴兩次都摸出白球的概率為P(兩白)= = .
【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= .注意本題是放回實(shí)驗(yàn).
23.如圖，已知二次函數(shù)y=﹣ +bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(2，0)、B(0，﹣6)兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【專(zhuān)題】綜合題.
【分析】(1)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A(2，0)、B(0，﹣6)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)代入y=﹣ +bx+c，算出b和c，即可得解析式.(2)先求出對(duì)稱(chēng)軸方程，寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出AC，然后由面積公式計(jì)算值.
【解答】解：(1)把A(2，0)、B(0，﹣6)代入y=﹣ +bx+c，
得：
解得 ，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=﹣ +4x﹣6.
(2)∵該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣ =4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，
∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，
∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，要會(huì)求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，會(huì)運(yùn)用面積公式.
24.如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，交⊙O的切線(xiàn)BE于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.
(1)求證：DF是⊙O的切線(xiàn);
(2)若DF=3，DE=2.
?、偾?值;
?、谇?ang;FAB的度數(shù).
【考點(diǎn)】切線(xiàn)的判定;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)作輔助線(xiàn)，連接OD.根據(jù)切線(xiàn)的判定定理，只需證DF⊥OD即可;
(2)①連接BD.根據(jù)BE、DF兩切線(xiàn)的性質(zhì)證明△BDE∽△ABE;又由角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的兩個(gè)底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得 = = ;②連接OC，交AD于G，由①，設(shè)BE=2x，則AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到結(jié)果.
【解答】(1)證明：如圖，連結(jié)OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線(xiàn)，
(2)解：①連接BD，
∵直徑AB，
∴∠ADB=90°，
∵圓O與BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴ = = ;
?、谶B接OC，交AD于G，
由①，設(shè)BE=2x，則AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴ ，∴ ，
解得：x1=2，x2=﹣ (不合題意，舍去)，
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB= ，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及扇形面積的計(jì)算.比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合解答.
25.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過(guò)程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°. 已知原傳送帶AB長(zhǎng)為4 米.
(1)求新傳送帶AC的長(zhǎng)度.
(2)如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米的通道，試判斷距離B點(diǎn)5米的貨物MNQP是否需要挪走，并說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)： .
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【分析】(1)在構(gòu)建的直角三角形中，首先求出兩個(gè)直角三角形的公共直角邊，進(jìn)而在Rt△ACD中，求出AC的長(zhǎng).
(2)通過(guò)解直角三角形，可求出BD、CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BC、PC的長(zhǎng).然后判斷PC的值是否大于2米即可.
【解答】解：(1)如圖，
在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4 × =4.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8.
即新傳送帶AC的長(zhǎng)度約為8米;
(2)結(jié)論：貨物MNQP不用挪走.
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 × =4.
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 .
∴CB=CD﹣BD=2 ﹣4≈0.9.
∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1>2，
∴貨物MNQP不應(yīng)挪走.
【點(diǎn)評(píng)】考查了坡度坡腳問(wèn)題，應(yīng)用問(wèn)題盡管題型千變?nèi)f化，但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問(wèn)題，必要時(shí)應(yīng)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形.在兩個(gè)直角三角形有公共直角邊時(shí)，先求出公共邊的長(zhǎng)是解答此類(lèi)題的基本思路.
26.科幻小說(shuō)《實(shí)驗(yàn)室的故事》中，有這樣一個(gè)情節(jié)：科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過(guò)一天后，測(cè)試出這種植物高度的增長(zhǎng)情況(如下表)：
溫度x/℃ … ﹣4 ﹣2 0 2 4 4.5 …
植物每天高度增長(zhǎng)量y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
由這些數(shù)據(jù)，科學(xué)家推測(cè)出植物每天高度增長(zhǎng)量y是溫度x的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.
(1)請(qǐng)你選擇一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關(guān)系式，并簡(jiǎn)要說(shuō)明不選擇另外兩種函數(shù)的理由;
(2)溫度為多少時(shí)，這種植物每天高度增長(zhǎng)量最大?
(3)如果實(shí)驗(yàn)室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250mm，那么實(shí)驗(yàn)室的溫度x應(yīng)該在哪個(gè)范圍內(nèi)選擇?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)選擇二次函數(shù)，設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0)，然后選擇x=﹣2、0、2三組數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，再根據(jù)反比例函數(shù)的自變量x不能為0，一次函數(shù)的特點(diǎn)排除另兩種函數(shù);
(2)把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答;
(3)求出平均每天的高度增長(zhǎng)量為25mm，然后根據(jù)y=25求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出x的取值范圍.
【解答】解：(1)選擇二次函數(shù)，設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵x=﹣2時(shí)，y=49，
x=0時(shí)，y=49，
x=2時(shí)，y=41，
∴ ，
解得 ，
所以，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2﹣2x+49;
不選另外兩個(gè)函數(shù)的理由：
∵點(diǎn)(0，49)不可能在反比例函數(shù)圖象上，
∴y不是x的反比例函數(shù);
∵點(diǎn)(﹣4，41)，(﹣2，49)，(2，41)不在同一直線(xiàn)上，
∴y不是x的一次函數(shù);
(2)由(1)得，y=﹣x2﹣2x+49=﹣(x+1)2+50，
∵a=﹣1<0，
∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y有最大值為50，
即當(dāng)溫度為﹣1℃時(shí)，這種作物每天高度增長(zhǎng)量最大;
(3)∵10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250mm，
∴平均每天該植物高度增長(zhǎng)量超過(guò)25mm，
當(dāng)y=25時(shí)，﹣x2﹣2x+49=25，
整理得，x2+2x﹣24=0，
解得x1=﹣6，x2=4，
∴在10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250mm，實(shí)驗(yàn)室的溫度應(yīng)保持在﹣6℃
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及利用二次函數(shù)求不等式，仔細(xì)分析圖表數(shù)據(jù)并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
27.△ABC中，AB=AC，取BC邊的中點(diǎn)D，作DE⊥AC于點(diǎn)E，取DE的中點(diǎn)F，連接BE，AF交于點(diǎn)H.
(1)如圖1，如果∠BAC=90°，求證：AF⊥BE并求 的值;
(2)如圖2，如果∠BAC=a，求證：AF⊥BE并用含a的式子表示 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠C，∠BAD= ∠BAC，AD⊥BC，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠ADE=∠C.易證△ADB∽△DEC，可得AD•CE=BD•DE.由此可得AD•CE= BC•2DF=BC•DF，即 ，由此可證到△AFD∽△BEC，則有 ，在Rt△ADB中根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，從而可得 = tan(90°﹣ ∠BAC).由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°.利用以上結(jié)論即可解決題中的兩個(gè)問(wèn)題.
【解答】解：如圖1，連接AD，
∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC= ∠BAC，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠C.
又∵∠ADB=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△DEC，
∴ ，
即AD•CE=BD•DE.
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，
∴BD= BC，DE=2DF，
∴AD•CE═ BC•2DF=BC•DF，
∴ ，
又∵∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△BEC，
∴ ，
在Rt△ADB中，
∵∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣ ∠BAC，BD= BC，
∴tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，
∴ = tan(90°﹣ ∠BAC).
∵△AFD∽△BEC，
∴∠DAF=∠CBE.
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，
∴∠AHO=180°﹣90°=90°，即∠AHB=90°，
(1)如圖1，
根據(jù)以上結(jié)論可得：
∠AHB=90°， = tan(90°﹣ ×90°)= ;
∴AF⊥BE， = ;
(2)如圖2，
根據(jù)以上結(jié)論可得：∠AHB=90°， = tan(90°﹣ α);
∴AF⊥BE， = tan(90°﹣ α).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)、同角的余角相等等知識(shí)，證到△AFD∽△BEC是解決本題的關(guān)鍵.
28.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2的圖象交x軸于A(1，0)、B(﹣2，0)，交y軸于點(diǎn)C，連接直線(xiàn)AC.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖象上，圓P與直線(xiàn)AC相切，切點(diǎn)為H.
①若P在y軸的左側(cè)，且△CHP∽△AOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo);
?、谌魣AP的半徑為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，從而可求得a、b的值;
(2)①由切線(xiàn)的性質(zhì)可知PH⊥AC，當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO從而可證明CP∥x軸，于是得到y(tǒng)P=﹣2，yP=﹣2代入拋物線(xiàn)的解析式可求得x1=0(舍去)，x2=﹣1，從而可求得P(﹣1，﹣2);如圖1，當(dāng)H′在點(diǎn)C上方時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，設(shè)OQ=m，則QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)C P′的解析式為y=﹣ x﹣2，然后將CP′與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣ ， ).
(3)在x軸上取一點(diǎn)D，如圖(2)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，使DE=4.在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC= ，由題意可知證明△AED∽△AOC，由相似三角形的性質(zhì)可求得AD=2 ，故此可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(1﹣2 ，0)或D(1+2 ，0)，過(guò)點(diǎn)D作DP∥AC，交拋物線(xiàn)于P，利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)AC的解析式為y=2x﹣2，于是得到直線(xiàn)PD的解析式為y=2x+4 ﹣2或y=2x﹣4 ﹣2，將直線(xiàn)PD的解析式與拋物線(xiàn)的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解答】解：(1)∵將x=1，y=0，x=﹣2，y=0代入y=ax2+bx﹣2得 ，解得： ，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+x﹣2.
(2)解①∵圓P與直線(xiàn)AC相切，
∴PH⊥AC.
(i)如圖1，當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)，
?、佟摺鰿HP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO.
∴CP∥x軸.
∴yP=﹣2.
∴x2+x﹣2=﹣2.
解得x1=0(舍去)，x2=﹣1，
∴P(﹣1，﹣2).
(ii)如圖1，當(dāng)H′在點(diǎn)C上方時(shí).
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，
設(shè)OQ=m，則QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=(m+1)2，解得，m= ，即OQ= ;
設(shè)直線(xiàn)C P′的解析式為y=kx﹣2，
把Q(﹣ ，0)的坐標(biāo)代入，得 k﹣2=0，解得k=﹣ ，∴y=﹣ x﹣2，
由﹣ x﹣2=x2+x﹣2，解得x1=0(舍去)，x2= ，此時(shí)y=﹣ ×(﹣ )﹣2= ，
∴P′(﹣ ， ).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)或(﹣ ， )
?、谠趚軸上取一點(diǎn)D，如圖(2)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，使DE=4.
在Rt△AOC中，AC= = = ，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC.
∴ ，即 = ，解得AD=2 ，
∴D(1﹣2 ，0)或D(1+2 ，0).
過(guò)點(diǎn)D作DP∥AC，交拋物線(xiàn)于P，設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b.
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式得到： .
解得： .
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=2x﹣2.
∴直線(xiàn)PD的解析式為y=2x+4 ﹣2或y=2x﹣4 ﹣2，
當(dāng)2x+4 ﹣2=x2+x﹣2時(shí)，即x2﹣x﹣4 =0，解得x1= ，x2= ;
當(dāng)2x﹣4 ﹣2=x2+x﹣2時(shí)，即x2﹣x+4 =0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ， ﹣1)或( ，﹣ ).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)和點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
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