九年級上冊數(shù)學(xué)期末測試卷及答案(2)
九年級上冊數(shù)學(xué)期末測試卷及答案
九年級上冊數(shù)學(xué)期末測試卷參考答案
一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)
1.下列各式中，正確的是( )
A. =﹣3 B.(﹣ )2=9 C.± =±3 D. =﹣2
【考點】立方根;平方根;算術(shù)平方根.
【分析】根據(jù)開方運(yùn)算，可得立方根，平方根.
【解答】解：A、 = ，故A錯誤;
B、(﹣ )2=3，故B錯誤;
C、 =±3，故C正確;
D、 =2，故D錯誤;
故選：C.
【點評】本題考查了立方根，開方運(yùn)算是解題關(guān)鍵，注意算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù).
2.方程(x﹣1)(x+3)=12化為ax2+bx+c=0的形式后，a、b、c的值為( )
A.1、2、﹣15 B.1、﹣2、﹣15 C.﹣1、﹣2、﹣15 D.﹣1、2、﹣15
【考點】一元二次方程的一般形式.
【分析】要確定方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式.
【解答】解：∵原方程化成成一元二次方程的一般形式為x2+2x﹣15=0，
∴a=1，b=2，c=﹣15.
故選A.
【點評】本題比較簡單，解答此類題目時要先將方程化為ax2+bx+c=0的形式，再確定a、b、c的值.
3.已知﹣1是關(guān)于x的方程x2+4x﹣m=0的一個根，則這個方程的另一個根是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.3
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】設(shè)x2+4x﹣m=0的另一個根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣1+x1=﹣4，求出x1的值即可.
【解答】解：設(shè)方程x2+4x﹣m=0的另一個根為：x1，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：﹣1+x1=﹣4，
解得：x1=﹣3，
故選：A.
【點評】此題是一元二次方程根與系數(shù)之間關(guān)系的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能關(guān)鍵根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣1+x1=﹣4.
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一點，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，則BC的長為( )
A.2 B. C.2 D.4
【考點】解直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】由已知可求∠A=30°，AC=4，即求BC=AC•tanA=4× = .
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=30°
∵CD=2，DE=1，
∴AD=2，AC=AD+DC=4，
由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得
△ABC∽△ADE，
∴ =
∴ =
∴BC= .
故選B.
【點評】此題主要考查綜合解直角三角形的能力，也可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.
5.一元二次方程(m﹣2)x2﹣4mx+2m﹣6=0有兩個相等的實數(shù)根，則m等于( )
A.﹣6或1 B.1 C.﹣6 D.2
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】利用一元二次方程有相等的實數(shù)根，△=0，建立關(guān)于m的等式，再根據(jù)m﹣2≠0，求出m的值.
【解答】解：∵一元二次方程(m﹣2)x2﹣4mx+2m﹣6=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=16m2﹣4×(m﹣2)(2m﹣6)=0，且m﹣2≠0，
∴m2+5m﹣6=0，m≠2，
∴(m+6)(m﹣1)=0，
解得：m1=﹣6，m2=1.
故選A.
【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
同時考查了一元二次方程的定義.
6.已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的兩個根，則代數(shù)式x12+x22的值是( )
A.37 B.26 C.13 D.10
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=﹣ =5，x1•x2= =﹣6，然后化簡代數(shù)式x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2，再把前面的值代入即可求出.
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的兩個根，
∴x1+x2=﹣ =5，x1•x2= =﹣6，
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=25+12=37.
故選A
【點評】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=﹣ ，x1•x2= .
7.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【考點】相似三角形的判定.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可.
【解答】解：根據(jù)題意得：AB= = ，AC= ，BC=2，
∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，
A、三邊之比為1： ：2 ，圖中的三角形與△ABC不相似;
B、三邊之比為 ： ：3，圖中的三角形與△ABC不相似;
C、三邊之比為1： ： ，圖中的三角形與△ABC相似;
D、三邊之比為2： ： ，圖中的三角形與△ABC不相似.
故選C.
【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
8.如圖，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8.則cosB的值是( )
A.1.25 B.0.8 C.0.6 D.0.625
【考點】解直角三角形.
【專題】計算題.
【分析】作AD⊥BC于D，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD= BC=4，然后在Rt△ABD中利用余弦的定義求解.
【解答】解：作AD⊥BC于D，如圖，
∵AB=AC=5，
∴BD=CD= BC= ×8=4，
在Rt△ABD中，cosB= = .
故選B.
【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.解直角三角形要用到的關(guān)系：銳角直角的關(guān)系：∠A+∠B=90°;三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2;邊角之間的關(guān)系：銳角三角函數(shù)關(guān)系.也考查了等腰三角形的性質(zhì).
9.如圖，在△ABC中，點D在AB上，在下列四個條件中：①∠ACD=∠B;②∠ADC=∠ACB;③AC2=AD•AB;④AB•CD=AD•CB，能滿足△ADC與△ACB相似的條件是( )
A.①、②、③ B.①、③、④ C.②、③、④ D.①、②、④
【考點】相似三角形的判定.
【分析】由∠A是公共角，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似與兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，判定△ABC與△ACD相似，即可得出結(jié)果.
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴當(dāng)∠ACD=∠B時，△ADC∽△ACB(有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似);
當(dāng)∠ADC=∠ACB時，△ADC∽△ACB(有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似);
當(dāng)AC2=AD•AB時，即 ，△ADC∽△ACB(兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似).
當(dāng)AB•CD=AD•CB，即 時，∠A不是夾角，則不能判定△ADC與△ACB相似;
∴能夠判定△ABC與△ACD相似的條件是：①②③.
故選A.
【點評】此題考查了相似三角形的判定.此題難度不大，熟記相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.
10.如圖1，某超市從一樓到二樓有一自動扶梯，圖2是側(cè)面示意圖.已知自動扶梯AB的坡度為1：2.4，AB的長度是13米，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，C是MN上處在自動扶梯頂端B點正上方的一點，BC⊥MN，在自動扶梯底端A處測得C點的仰角為42°，則二樓的層高BC約為(精確到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( )
A.10.8米 B.8.9米 C.8.0米 D.5.8米
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題;解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】延長CB交PQ于點D，根據(jù)坡度的定義即可求得BD的長，然后在直角△CDA中利用三角函數(shù)即可求得CD的長，則BC即可得到.
【解答】解：延長CB交PQ于點D.
∵M(jìn)N∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ.
∵自動扶梯AB的坡度為1：2.4，
∴ = = .
設(shè)BD=5k(米)，AD=12k(米)，則AB=13k(米).
∵AB=13(米)，
∴k=1，
∴BD=5(米)，AD=12(米).
在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，
∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8(米)，
∴BC=10.8﹣5≈5.8(米).
故選：D.
【點評】本題考查仰角和坡度的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.
二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分)
11.將方程x2+6x﹣3=0的左邊配成完全平方后所得方程為 (x+3)2 =12 .
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】方程思想.
【分析】首先移項變形成x2+6x=3的形式，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方即可變形成左邊是完全平方式，右邊是常數(shù)的形式.
【解答】解：∵x2+6x﹣3=0，
∴x2+6x=3，
∴x2+8x+9=9+3，
∴(x+3)2=12.
故答案為：(x+3)2 =12.
【點評】本題主要考查用配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).
12.若 = ，且ab≠0，則 的值是 ﹣3 .
【考點】比例的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù) = ，可得a= b，再把a(bǔ)= b代入 進(jìn)行計算.
【解答】解：∵ = ，
∴a= b，
∴ = = =﹣3，
故答案為：﹣3.
【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確用含b的代數(shù)式表示a.
13.如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 k 且k≠0 .
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k2≠0且△=(2k+1)2﹣4k2>0，然后求出兩個不等式解的公共部分即可.
【解答】解：根據(jù)題意得k2≠0且△=(2k+1)2﹣4k2>0，
解得k>﹣ 且k≠0.
故答案為k>﹣ 且k≠0.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.
14.如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】由平行可得到 = ，代入可求得EC，再利用線段的和可求得AC.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得EC= ，
∴AC=AE+EC=2+ = ，
故答案為： .
【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.
15.如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且 = = ，則S△ADE：S四邊形BCED的值為 1：3 .
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，證得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求得答案.
【解答】解：∵在△ADE與△ACB中， = = ，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB=(AE：AB)2=1：4，
∴S△ADE：S四邊形BCED=1：3.
故答案是：1：3.
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).注意相似三角形的面積的比等于相似比的平方.
16.直角△ABC中，斜邊AB=5，直角邊BC、AC之長是一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+4(m﹣1)=0的兩根，則m的值為 4 .
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】先利用勾股定理表示出方程兩根之間的數(shù)量關(guān)系，即兩根的平方和是25，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把有關(guān)字母的系數(shù)代入其中得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值.
【解答】解：如圖.設(shè)BC=a，AC=b.
根據(jù)題意得a+b=2m﹣1，ab=4(m﹣1).
由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(2m﹣1)2﹣8(m﹣1)=4m2﹣12m+9=25，
∴4m2﹣12m﹣16=0，
即m2﹣3m﹣4=0，
解得m1=﹣1，m2=4.
∵a+b=2m﹣1>0，
即m> ，
∴m=4.
故答案為：4.
【點評】本題考查了勾股定理及一元二次方程的應(yīng)用，要注意的是三角形的邊長都是正數(shù)，所以最后要把解得的根代入到實際問題的條件中檢驗，將不合題意的解舍去.
三、解答題(本題共6小題，共52分)
17.計算：
(1) ﹣3 ×( ﹣ )
(2) ﹣ •
(3)sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°.
【考點】二次根式的混合運(yùn)算;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計算題.
【分析】(1)先把各二次根式化為最簡二次根式，然后把括號內(nèi)合并后進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，再化簡后合并即可;
(2)根據(jù)進(jìn)行二次根式的乘除法則運(yùn)算;
(3)先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到原式=( )2+2× +1﹣ +( )2，然后進(jìn)行乘方運(yùn)算后合并即可.
【解答】解：(1)原式=3 ﹣3 ( ﹣ )
=3 ﹣2 •
=3 ﹣
= ;
(2)原式= +1﹣
=2+1﹣2
=1;
(3)原式=( )2+2× +1﹣ +( )2
= + +1﹣ +
=2.
【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.
18.先化簡，再求值： ﹣ ÷(x+1﹣ )，其中x滿足x(x+2)=2+x.
【考點】分式的化簡求值;解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把求出x的值代入進(jìn)行計算即可.
【解答】解：原式= ﹣ ÷
= ﹣ •
= ﹣
= ，
∵x(x+2)=2+x，
∴x1=1，x2=﹣2，
當(dāng)x=﹣2時原式無意義;
當(dāng)x=1時，原式= = .
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.
19.《中國足球改革總體方案》提出足球要進(jìn)校園，為了解某校學(xué)生對校園足球喜愛的情況，隨機(jī)對該校部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為“很喜歡”、“較喜歡”、“一般”、“不喜歡”四個等級，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖;
(1)一共調(diào)查了 30 名學(xué)生，請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)在此次調(diào)查活動中，選擇“一般”的學(xué)生中只有兩人來自初三年級，現(xiàn)在要從選擇“一般”的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人來談?wù)劯髯詫π@足球的感想，請用畫樹狀圖或列表法求選中的兩人剛好都來自初三年級的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統(tǒng)計圖;條形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)由題意即可得：一共調(diào)查的學(xué)生有：3÷10%=30(名);繼而求得：調(diào)查結(jié)果為“一般”的人數(shù)：30﹣13﹣10﹣3=4(名).則可補(bǔ)全統(tǒng)計圖;
(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選中的兩人剛好都來自初三年級的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)根據(jù)題意得：一共調(diào)查的學(xué)生有：3÷10%=30(名);
調(diào)查結(jié)果為“一般”的人數(shù)：30﹣13﹣10﹣3=4(名).
故答案為：30;
補(bǔ)全統(tǒng)計圖得：
(2)用A，B分別表示來自初三年級的學(xué)生，C，D表示其他兩個學(xué)生，
畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，選中的兩人剛好都來自初三年級的有2種情況，
∴選中的兩人剛好都來自初三年級的概率為： = .
【點評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
20.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD與AC相交于點E，AB=9，BC=4，DC=3.
(1)求BE的長度;
(2)求△ABE的面積.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理.
【專題】計算題.
【分析】(1)由CD⊥BC，得到∠DCB為直角，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BD的長，根據(jù)AB與CD平行，得到三角形ABE與三角形CDE相似，由相似得比例，求出BE的長即可;
(2)作EF垂直于AB，EH垂直于CD，由三角形ABE與三角形CDE相似，得比例，把BC的長代入求出EF的長，即可求出三角形ABE面積.
【解答】解：(1)∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，
根據(jù)勾股定理得：BD= =5，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，
又∵BD=5，
∴BE= BD= ;
(2)作EF⊥AB，EH⊥CD，
∵△ABE∽△CDE，
∴EF：EH=DC：AB=1：3，
又∵BC=4，
∴FE= BC=3，
則S△ABE=AB×EF× = .
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
21.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，tanB= ，cosC= ，AC=2 ，求sin∠ADC的值.
【考點】解直角三角形.
【分析】過點A作AH⊥BC，根據(jù)余弦定理和正切值分別求出AH、BH，再根據(jù)AD是△ABC的中線，求出DH，再根據(jù)勾股定理求出AD，從而求出sin∠ADC的值.
【解答】解：過點A作AH⊥BC交BC與點H，
∵cosC= ，AC=2 ，
∴AH=2，
∵tanB= ，
∴BH=4，
∵AD是△ABC的中線，
∴DH=1，
∴AD= = = ，
∴sin∠ADC= = = .
【點評】此題考查了解直角三角形，用到的知識點是銳角三角函數(shù)值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形.
22.某工程隊修建一條總長為1860米的公路，在使用舊設(shè)備施工17天后，為盡快完成任務(wù)，工程隊引進(jìn)了新設(shè)備，從而將工作效率提高了50%，結(jié)果比原計劃提前15天完成任務(wù).
(1)工程隊在使用新設(shè)備后每天能修路多少米?
(2)在使用舊設(shè)備和新設(shè)備工作效率不變的情況下，工程隊計劃使用舊設(shè)備m天，使用新設(shè)備n(16≤n≤26)天修建一條總長為1500米的公路，使用舊設(shè)備一天需花費(fèi)16000元，使用新設(shè)備一天需花費(fèi)25000元，當(dāng)m、n分別為何值時，修建這條公路的總費(fèi)用最少，并求出最少費(fèi)用.
【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用;分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)使用舊設(shè)備每天能修路x米，則使用新設(shè)備后每天能修路(1+50)x=1.5x(米)，根據(jù)題意，列出方程 ，即可解答;
(2)設(shè)修建這條公路的總費(fèi)用為W元，則W=16000m+25000n，由30m+45n=1500，得到m= ，則W=16000× +25000n=800000+1000n，根據(jù)16≤n≤26，利用一次函數(shù)的增減性即可解答.
【解答】解：(1)設(shè)使用舊設(shè)備每天能修路x米，則使用新設(shè)備后每天能修路(1+50)x=1.5x(米)，
根據(jù)題意得： ，
解得：x=30，
當(dāng)x=30時，1.5x≠0，
∴x=30是分式方程的解，
1.5x=45，
答;工程隊在使用新設(shè)備后每天能修路45米.
(2)設(shè)修建這條公路的總費(fèi)用為W元，
則W=16000m+25000n，
∵30m+45n=1500，
∴m= ，
把m= 代入W=16000m+25000n得;
W=16000× +25000n=800000+1000n，
∵k=1000>0，
∴W隨n的增大而增大，
∵16≤n≤26，
∴當(dāng)n=16時，W有最小值，最小值為;800000+16000=816000(元)，
m= =26，
答：當(dāng)m=26，n=16時，修建這條公路的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為816000元.
【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用一次函數(shù)的增減性解決最值問題.
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