初三上數(shù)學(xué)期末試卷(2)
初三上數(shù)學(xué)期末試卷
初三上數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、選擇題：本大題共16個小題，1-6小題每小題2分，7-16小題每小題2分，共42分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確的答案的序號填寫在對應(yīng)的括號內(nèi).
1.方程x2+1=2x的根是( )
A.x1=1，x2=﹣1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=﹣1 D.x1=1+ ，x2=1﹣
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】在本題中，把2x移項后，左邊是完全平方公式，再直接開方即可.
【解答】解：把方程x2+1=2x移項，得到x2﹣2x+1=0，
∴(x﹣1)2=0，
∴x﹣1=0，
∴x1=x2=1，
故選B.
【點評】配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).
2.在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一根旗桿的影長為25m，那么這根旗桿的高度為( )
A.10m B.12m C.15m D.40m
【考點】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)同時同地物高與影長成正比列式計算即可得解.
【解答】解：設(shè)旗桿高度為x米，
由題意得， = ，
解得：x=15.
故選：C.
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了同時同地物高與影長成正比，需熟記.
3.一臺印刷機每年可印刷的書本數(shù)量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關(guān)系，當x=2時，y=20.則y與x的函數(shù)圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用;反比例函數(shù)的圖象.
【分析】設(shè)y= (k≠0)，根據(jù)當x=2時，y=20，求出k，即可得出y與x的函數(shù)圖象.
【解答】解：設(shè)y= (k≠0)，
∵當x=2時，y=20，
∴k=40，
∴y= ，
則y與x的函數(shù)圖象大致是C，
故選：C.
【點評】此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式得出函數(shù)的圖象.
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以2.5cm為半徑作⊙C，則斜邊AB與⊙C的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定
【考點】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】過C作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出CD，得出d
【解答】解：過C作CD⊥AB于D，如圖所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴由勾股定理得：AB= = =5，
∵△ABC的面積= AC×BC= AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4<2.5，
即d
∴斜邊AB與⊙C的位置關(guān)系是相交，
故選：A.
【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用;解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，并進一步求出CD的長，注意：直線和圓的位置關(guān)系有：相離，相切，相交.
5.在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cosB的值為( )
A. B. C. D.
【考點】勾股定理;銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】壓軸題;網(wǎng)格型.
【分析】先設(shè)小正方形的邊長為1，然后找個與∠B有關(guān)的RT△ABD，算出AB的長，再求出BD的長，即可求出余弦值.
【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則AB=4 ，BD=4，
∴cos∠B= = .
故選B.
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的知識，此題比較簡單，關(guān)鍵是找出與角B有關(guān)的直角三角形.
6.關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根為0，則m的值為( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
【考點】一元二次方程的解.
【分析】方程的根即方程的解，把x=0代入方程即可得到關(guān)于m的方程，即可求得m的值.另外要注意m﹣1≠0這一條件.
【解答】解：根據(jù)題意得：m2﹣1=0且m﹣1≠0
解得m=﹣1
故選B.
【點評】本題主要考查方程的解的定義，容易忽視的條件是m﹣1≠0.
7.如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
【考點】相似三角形的判定.
【分析】先根據(jù)∠1=∠2求出∠BAC=∠DAE，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答.
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加∠C=∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤;
B、添加∠B=∠ADE，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤;
C、添加 = ，可用兩邊及其夾角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤;
D、添加 = ，不能判定△ABC∽△ADE，故本選項正確;
故選D.
【點評】本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對相等的角∠BAC=∠DAE是確定其他條件的關(guān)鍵，注意掌握相似三角形的幾種判定方法.
8.如圖，關(guān)于拋物線y=(x﹣1)2﹣2，下列說法錯誤的是( )
A.頂點坐標為(1，﹣2) B.對稱軸是直線x=l
C.開口方向向上 D.當x>1時，y隨x的增大而減小
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)拋物線的解析式得出頂點坐標是(1，﹣2)，對稱軸是直線x=1，根據(jù)a=1>0，得出開口向上，當x>1時，y隨x的增大而增大，根據(jù)結(jié)論即可判斷選項.
【解答】解：∵拋物線y=(x﹣1)2﹣2，
A、因為頂點坐標是(1，﹣2)，故說法正確;
B、因為對稱軸是直線x=1，故說法正確;
C、因為a=1>0，開口向上，故說法正確;
D、當x>1時，y隨x的增大而增大，故說法錯誤.
故選D.
【點評】本題主要考查對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷是解此題的關(guān)鍵.
9.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣1
【考點】二次函數(shù)與不等式(組).
【專題】壓軸題.
【分析】利用二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【解答】解：由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點的坐標為(5，0)，
∴圖象與x軸的另一個交點坐標為(﹣1，0).
利用圖象可知：
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，
∴x<﹣1或x>5.
故選：D.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)利用圖象解一元二次方程根的情況，很好地利用數(shù)形結(jié)合，題目非常典型.
10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì);圓周角定理.
【分析】設(shè)∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β，由題意可得 ，求出β即可解決問題.
【解答】解：設(shè)∠ADC的度數(shù)=α，∠ABC的度數(shù)=β;
∵四邊形OADC是平行四邊形，
∴∠ADC=∠AOC;
∵∠ADC= β，∠AOC=α;而α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故選C.
【點評】該題主要考查了圓周角定理及其應(yīng)用問題;應(yīng)牢固掌握該定理并能靈活運用.
11.用一個半徑為18cm，圓心角為140°的扇形做成一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面半徑是( )
A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
【考點】圓錐的計算.
【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得.
【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r，由題意，得
2πr= ，
解得r=7.
故選A.
【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解.
12.在平面直角坐標系中有兩點A(6，2)、B(6，0)，以原點為位似中心，相似比為1：3，把線段AB縮小，則過A點對應(yīng)點的反比例函數(shù)的解析式為( )
A. B. C. D.
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;位似變換.
【專題】壓軸題.
【分析】先根據(jù)相似比為1：3，求A點對應(yīng)點的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式.
【解答】解：∵△A1B1O和ABO以原點為位似中心，
∴△A1B1O∽△ABO，相似比為1：3，
∴A1B1= ，OB1=2，
∴A1的坐標為(2， )或(﹣2，﹣ )，
設(shè)過此點的反比例函數(shù)解析式為y= ，則k= ，
所以解析式為y= .
故選B.
【點評】此題關(guān)鍵運用位似知識求對應(yīng)點坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
13.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細)，則所得扇形DAB的面積為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考點】扇形面積的計算.
【分析】由正方形的邊長為3，可得弧BD的弧長為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB= ，計算即可.
【解答】解：∵正方形的邊長為3，
∴弧BD的弧長=6，
∴S扇形DAB= = ×6×3=9.
故選D.
【點評】此題考查了扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：熟記扇形的面積公式S扇形DAB= .
14.如圖，函數(shù)y= 和y= 的圖象分別是l1和l2，設(shè)點P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則三角形PAB的面積為( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】設(shè)P的坐標是(a， )，推出A的坐標和B的坐標，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可.
【解答】解：∵點P在y= 上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴設(shè)P的坐標是(a， )(a為正數(shù))，
∵PA⊥x軸，
∴A的橫坐標是a，
∵A在y=﹣ 上，
∴A的坐標是(a，﹣ )，
∵PB⊥y軸，
∴B的縱坐標是 ，
∵B在y=﹣ 上，
∴代入得： =﹣ ，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐標是(﹣3a， )，
∴PA=| ﹣(﹣ )|= ，
PB=|a﹣(﹣3a)|=4a，
∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面積是： PA×PB= × ×4a=8.
故選A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)和三角形面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)P點的坐標得出A、B的坐標，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目.
15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：
?、賏+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.
其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】壓軸題.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.
【解答】解：①當x=1時，結(jié)合圖象y=a+b+c<0，故此選項正確;
②當x=﹣1時，圖象與x軸交點負半軸明顯小于﹣1，∴y=a﹣b+c>0，故本選項錯誤;
?、塾蓲佄锞€的開口向上知a>0，
∵對稱軸為1>x=﹣ >0，
∴2a>﹣b，
即2a+b>0，
故本選項錯誤;
?、軐ΨQ軸為x=﹣ >0，
∴a、b異號，即b<0，
圖象與坐標相交于y軸負半軸，
∴c<0，
∴abc>0，
故本選項正確;
∴正確結(jié)論的序號為①④.
故選：C.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，同學(xué)們應(yīng)掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定：
(1)a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a>0;否則a<0;
(2)b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=﹣ 判斷符號;
(3)c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c>0;否則c<0;
(4)當x=1時，可以確定y=a+b+C的值;當x=﹣1時，可以確定y=a﹣b+c的值.
16.如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點G、H，則 的值是( )
A. B. C. D.2
【考點】正多邊形和圓.
【專題】壓軸題.
【分析】首先設(shè)⊙O的半徑是r，則OF=r，根據(jù)AO是∠EAF的平分線，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少;然后判斷出OI、CI的關(guān)系，再根據(jù)GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出 的值是多少即可.
【解答】解：如圖，連接AC、BD、OF， ，
設(shè)⊙O的半徑是r，
則OF=r，
∵AO是∠EAF的平分線，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°= ，
∴EF= ，
∵AO=2OI，
∴OI= ，CI=r﹣ = ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
即則 的值是 .
故選：C.
【點評】此題主要考查了正多邊形與圓的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確正多邊形的有關(guān)概念：①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分，請把各小題正確答案填寫在對應(yīng)題號的橫線處.
17.為解決“最后一公里”的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自行車供市民使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，預(yù)計到2016年底，全市將有公租自行車42250輛，則兩年的平均增長率為 30% .
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】增長率問題.
【分析】一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，設(shè)增長率為x，由題意可得25000(1+x)2=42250，經(jīng)解和檢驗后得增長率是30%.
【解答】解：設(shè)增長率為x，由題意可得25000(1+x)2=42250
解得x=0.3或﹣2.3(不合題意，舍去)
即增長率是30%，
故答案為：30%.
【點評】本題考查的是一元二次方程中的增長率問題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量，難度不大.
18.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD=3，AB=7，BF=2，則FC的長為 .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理得到EF=BD=4，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.
【解答】解：∵AD=3，AB=7，
∴BD=4，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∴EF=BD=4，
∵EF∥AB，
∴ = ，即 = ，
解得CF= .
故答案為： .
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用和平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
19.如圖，用總長度為12米的不銹鋼材料設(shè)計成如圖所示的外觀為矩形的框架，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行，則矩形框架ABCD的最大面積為 4 m2.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】用含x的代數(shù)式(12﹣3x)÷3=4﹣x表示橫檔AD的長，然后根據(jù)矩形面積公式得到二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出矩形的最大面積
【解答】解：∵AB為x米，則AD= =4﹣x，
S長方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4，
當x=2時，S取得最大值=4;
∴長方形框架ABCD的面積S最大為4m2.
故答案為：4.
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)面積公式得二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵.
20.如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=8cm，C、D為弧AB的三等分點，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是 8 cm.
【考點】軸對稱-最短路線問題;勾股定理;垂徑定理.
【分析】作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M為CM+DM的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得 = ，然后求出C′D為直徑，從而得解.
【解答】解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，
此時，點M為CM+DM的最小值時的位置，
由垂徑定理， = ，
∴ = ，
∵ = = ，AB為直徑，
∴C′D為直徑.則CD′=AB=8(cm).
故答案是：8.
【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵.
三、解答題：本大題共6個小題，共66分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
21.已知反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠1).
(1)其圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象的一個交點為P，若點P的縱坐標是2，求k的值;
(2)若在其圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍;
(3)若其圖象的一支位于第二象限，在這一支上任取兩點A(x1、x2)、B(x2、y2)，當y1>y2時，試比較x1與x2的大小;
(4)若在其圖象上任取一點，向x軸和y軸作垂線，若所得矩形面積為6，求k的值.
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)設(shè)點P的坐標為(m，2)，由點P在正比例函數(shù)y=x的圖象上可求出m的值，進而得出P點坐標，再根據(jù)點P在反比例函數(shù)y= 的圖象上，所以2= ，解得k=5;
(2)由于在反比例函數(shù)y= 圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，故k﹣1>0，求出k的取值范圍即可;
(3)反比例函數(shù)y= 圖象的一支位于第二象限，故在該函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，所以A(x1，y1)與點B(x2，y2)在該函數(shù)的第二象限的圖象上，且y1>y2，故可知x1>x2;
(4)利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義直接寫出答案即可.
【解答】解：(1)由題意，設(shè)點P的坐標為(m，2)
∵點P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，
∴2=m，即m=2.
∴點P的坐標為(2，2).
∵點P在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴2= ，解得k=5.
(2)∵在反比例函數(shù)y= 圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，
∴k﹣1>0，解得k>1.
(3)∵反比例函數(shù)y= 圖象的一支位于第二象限，
∴在該函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大.
∵點A(x1，y1)與點B(x2，y2)在該函數(shù)的第二象限的圖象上，且y1>y2，
∴x1>x2.
(4)∵在其圖象上任取一點，向兩坐標軸作垂線，得到的矩形為6，
∴|k|=6，
解得：k=±6.
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.
22.如圖，一艘漁船正以30海里/小時的速度由西向東趕魚群，在A處看風(fēng)小島C在船的北偏東60度.40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30度.已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進入危險區(qū)的可能?
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.
【分析】根據(jù)題意實質(zhì)是比較C點到AB的距離與10的大小.因此作CD⊥AB于D點，求CD的長.
【解答】解：作CD⊥AB于D，
根據(jù)題意，AB=30× =20，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△ACD中，AD= = CD，
在Rt△BCD中，BD= = CD，
∵AB=AD﹣BD，
∴ CD﹣ CD=20，
CD= >10，
所以不可能.
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，“化斜為直”是解三角形的常規(guī)思路，常需作垂線(高)，構(gòu)造直角三角形.原則上不破壞特殊角(30°、45°、60°).
23.如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的圓O交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE.
(1)求證：DE是⊙O的切線;
(2)若CD= ，∠ACB=30°，求OE的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)連接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=DC，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可;
(2)解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根據(jù)三角形的面積公式求出高DE，在△ODE中，根據(jù)勾股定理求出OE即可.
【解答】(1)證明：連接OD、BD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D為AC中點，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線;
(2)解：∵CD= ，∠ACB=30°，
∴cos30°= ，
∴BC=2，
∴BD= BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面積公式得：BC×DE=BD×CD，
1× =2DE，
DE= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE= = .
【點評】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，含30度角的直角三角形，解直角三角形等知識點的綜合運用.
24.某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，其單價隨市場變化而做相應(yīng)調(diào)整，營銷人員根據(jù)前三次單價變化的情況，繪制了如下統(tǒng)計表及不完整的折線圖：
第一次 第二次 第三次
A產(chǎn)品單價(元/件) 6 5.2 6.5
B產(chǎn)品單價(元/件) 3.5 4 3
并求得了A產(chǎn)品三次單價的平均數(shù)和方差：
;SA2= [(6﹣5.9)2+(5.2﹣5.9)2+(6.5﹣5.9)2]=
(1)補全“A、B產(chǎn)品單價變化的折線圖”，B產(chǎn)品第三次的單價比上一次的單價降低了百分之多少?
(2)求B產(chǎn)品三次單價的方差，并比較哪種產(chǎn)品的單價波動小;
(3)該廠決定第四次調(diào)價，A產(chǎn)品的單價仍為6.5元/件.
則A產(chǎn)品這四次單價的中位數(shù)是 6.25 元/件.
若A產(chǎn)品這四次單價的中位數(shù)是B產(chǎn)品四次單價中位數(shù)的2倍少1，則B產(chǎn)品的第四次單價為 3.75 元/件.
【考點】方差;折線統(tǒng)計圖;中位數(shù).
【分析】(1)根據(jù)題目提供數(shù)據(jù)補充折線統(tǒng)計圖即可;
(2)分別計算平均數(shù)及方差即可;
(3)首先確定這四次單價的中位數(shù)，然后確定第四次調(diào)價的范圍，根據(jù)“A產(chǎn)品這四次單價的中位數(shù)是B產(chǎn)品四次單價中位數(shù)的2倍少1”列式求出B產(chǎn)品這四次單價的中位數(shù)即可求得B產(chǎn)品的第四次單價.
【解答】解：(1)補全“A、B產(chǎn)品單價變化的折線圖”如圖所示：
B產(chǎn)品第三次的單價比上一次的單價降低的百分數(shù)為： ×100%=25%;
(2) = (3.5+4+3)=3.5;
SB2= [(3.5﹣3.5)2+(4﹣3.5)2+(3﹣3.5)2]= ，
∵ < ，
∴B產(chǎn)品的單價波動小;
(3)A產(chǎn)品這四次單價的中位數(shù)是： =6.25，
設(shè)B產(chǎn)品這四次單價的中位數(shù)是x元/件.
根據(jù)題意：2x﹣1=6.25，
x=3.625，
∴第四次單價應(yīng)大于3.5，小于4，
∵ =3.625，
∴a=3.75元/件
故答案為6.25，3.75.
【點評】本題考查了方差、條形統(tǒng)計圖、算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方差公式進行有關(guān)的運算，難度不大.
25.(1)問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°.求證：AD•BC=AP•BP.
(2)探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.
(3)應(yīng)用：請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題：
如圖3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10.點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A.設(shè)點P的運動時間為t(秒)，當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值.
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
(2)由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
(3)過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=6，根據(jù)勾股定理可得DE=8，由題可得DC=DE=8，則有BC=10﹣8=2.易證∠DPC=∠A=∠B.根據(jù)AD•BC=AP•BP，就可求出t的值.
【解答】(1)證明：如圖1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ，
∴AD•BC=AP•BP;
(2)結(jié)論AD•BC=AP•BP仍成立;
理由：證明：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ，
∴AD•BC=AP•BP;
(3)解：如下圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6
∴DE= =8，
∵以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10﹣8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由(1)(2)的經(jīng)驗得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=12﹣t，
∴t(12﹣t)=10×2，
∴t=2或t=10，
∴t的值為2秒或10秒.
【點評】本題是對K型相似模型的探究和應(yīng)用，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，以及運用已有經(jīng)驗解決問題的能力，滲透了特殊到一般的思想.
26.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3，0)，B(﹣1，0)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點為M，直線y=﹣2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D.現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;
(2)由(1)的解析式求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)拋物線的頂點坐標求出直線OD的解析式，設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標為(h， h)，就可以表示出平移后的解析式，當拋物線經(jīng)過點C時就可以求出h值，拋物線與直線CD只有一個公共點時可以得出 ，得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0，從而得出△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0求出h=4，從而得出結(jié)論.
【解答】解：(1)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3，0)，B(﹣1，0)兩點，
∴ ，
解得 ，
∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3.
(2)由(1)配方得y=(x+2)2﹣1，
∴拋物線的頂點坐標為M(﹣2，﹣1)，
∴直線OD的解析式為y= x，
于是可設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標為(h， h)，
∴平移后的拋物線的解析式為y=(x﹣h)2+ h，
當拋物線經(jīng)過點C時，∵C(0，9)，
∴h2+ h=9.
解得h= ，
∴當 ≤h< 時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點;
當拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組 ，
得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0，
∴△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0，
解得h=4，
此時拋物線y=(x﹣4)2+2與直線CD唯一的公共點為(3，3)，點(3，3)在射線CD上，符合題意.
故平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是 ≤h< 或h=4.
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換及方程組與交點坐標的運用，利用根的判別式判斷得出是解題關(guān)鍵.
看了“初三上數(shù)學(xué)期末試卷”的人還看了：