廣東茂名高考數(shù)學(xué)一模試卷(2)
廣東茂名高考數(shù)學(xué)一模試卷
廣東茂名高考數(shù)學(xué)一模試卷答案
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0},N={y|y=2x},則M∩N=( )
A.(0,2] B.(0,2) C.[0,2] D.[2,+∞)
【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.
【分析】由一元二次不等式的解法、指數(shù)函數(shù)的值域求出集合M、N,由交集的運(yùn)算求出答案.
【解答】解:依題意得,M={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1,2],
且N={y|y=2x}={y|y>0}=(0,+∞),
∴M∩N=(0,2],
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算,一元二次不等式的解法,以及指數(shù)函數(shù)的值域,屬于基礎(chǔ)題.
2.設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)(2﹣i)z=1+i,則z的共軛復(fù)數(shù) 在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義即可得出.
【解答】解:復(fù)數(shù)(2﹣i)z=1+i,
∴(2+i)(2﹣i)z=(2+i)(1+i),
∴z=
則z的共軛復(fù)數(shù) = ﹣ i在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 在第四象限.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
3.如圖,函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|< )的圖象過點(diǎn)(0, ),則f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( )
A.(﹣ ,0) B.(﹣ ,0) C.( ,0) D.( ,0)
【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.
【分析】由函數(shù)圖象可知A=2,由圖象過點(diǎn)(0, ),可得sinφ= ,由|φ|< ,可解得φ,由2x+ =kπ,k∈Z可解得f(x)的圖象的對(duì)稱中心是:( ,0),k∈Z,對(duì)比選項(xiàng)即可得解.
【解答】解:由函數(shù)圖象可知:A=2,由于圖象過點(diǎn)(0, ),
可得:2sinφ= ,即sinφ= ,由于|φ|< ,
解得:φ= ,
即有:f(x)=2sin(2x+ ).
由2x+ =kπ,k∈Z可解得:x= ,k∈Z,
故f(x)的圖象的對(duì)稱中心是:( ,0),k∈Z
當(dāng)k=0時(shí),f(x)的圖象的對(duì)稱中心是:( ,0),
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ )的部分圖象求函數(shù)的解析式,正弦函數(shù)的對(duì)稱性,屬于中檔題.
4.設(shè)命題p:若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù),則∀x∈R,f(﹣x)≠f(x).命題q:f(x)=x|x|在(﹣∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù).則下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A.p為假 B.¬q為真 C.p∨q為真 D.p∧q為假
【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假.
【分析】分別判斷出p,q的真假,從而判斷出復(fù)合命題的真假即可.
【解答】解:函數(shù)f(x)不是偶函數(shù),仍然可∃x,使f(﹣x)=f(x),故p為假;
f(x)=x|x|= 在R上都是增函數(shù),q為假;
故 p∨q為假,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合命題的真假,判斷函數(shù)的單調(diào)性.是一道基礎(chǔ)題.
5.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長五尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件,若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的,問第二尺與第四尺的重量之和為( )
A.6 斤 B.9 斤 C.9.5斤 D.12 斤
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【分析】依題意,金箠由粗到細(xì)各尺構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)a1=4,則a5=2,由此利用等差數(shù)列性質(zhì)能求出結(jié)果.
【解答】解:依題意,金箠由粗到細(xì)各尺構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,
設(shè)首項(xiàng)a1=4,則a5=2,
由等差數(shù)列性質(zhì)得a2+a4=a1+a5=6,
所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
6.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(﹣∞,0]上是減函數(shù),且f(1)=2,則不等式f(log2x)>2的解集為( )
A.(2,+∞) B. C. D.
【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性分析可得f(log2x)>2⇔|log2x|>1;化簡(jiǎn)可得log2x>1或log2x<﹣1,解可得x的取值范圍,即可得答案.
【解答】解:f(x)是R的偶函數(shù),在(﹣∞,0]上是減函數(shù),所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
所以f(log2x)>2=f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1;
即log2x>1或log2x<﹣1;
解可得x>2或 .
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵是通過對(duì)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的分析,得到關(guān)于x的方程.
7.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果是 ,則輸入的a為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】算法的功能是求S= + +…+ 的值,根據(jù)輸出的S值,確定跳出循環(huán)的n值,從而得判斷框內(nèi)的條件.
【解答】解:由程序框圖知:算法的功能是求S= + +…+ 的值,
∵S= =1﹣ = .∴n=5,
∴跳出循環(huán)的n值為5,
∴判斷框的條件為n<5.即a=5.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵.
8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其表面積為6π+ π,則該幾何體的體積為( )
A.4π B.2π C. π D.3π
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖可知:該幾何體從左到右由三部分組成,分別為三棱錐、圓柱、半球.表面積為6π+ π= +2πr×2r+2πr2,解得r.再利用體積計(jì)算公式即可得出.
【解答】解:由三視圖可知:該幾何體從左到右由三部分組成,分別為三棱錐、圓柱、半球.
表面積為6π+ π= +2πr×2r+2πr2,解得r=1.
∴該幾何體的體積V= r2×r+πr2×2r+ =3π.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱、圓球、三棱錐的三視圖、體積與表面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
9.學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學(xué)、英語、理綜4科的專題講座,每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié),則不同的安排方法共有( )
A.6種 B.24種 C.30種 D.36種
【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.
【分析】先從4個(gè)中任選2個(gè)看作整體,然后做3個(gè)元素的全排列,從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形,可得結(jié)論.
【解答】解:由于每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,必有兩科在同一節(jié),先從4科中任選2科看作一個(gè)整體,然后做3個(gè)元素的全排列,共 種方法,再從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形,共 種方法,故總的方法種數(shù)為 ﹣ =36﹣6=30.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題,采用間接法是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.
10.過球O表面上一點(diǎn)A引三條長度相等的弦AB、AC、AD,且兩兩夾角都為60°,若球半徑為R,則弦AB的長度為( )
A. B. C.R D.
【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.
【分析】由題意畫出圖形,可知A﹣BCD是正四面體,設(shè)AB=a,結(jié)合球心為正四面體的中心通過求解直角三角形得答案.
【解答】解:由條件可知A﹣BCD是正四面體,如圖:
A、B、C、D為球上四點(diǎn),則球心O在正四面體中心,設(shè)AB=a,
則過點(diǎn)B、C、D的截面圓半徑 ,
正四面體A﹣BCD的高 ,則截面BCD與球心的距離 ,
∴ ,解得 .
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,考查空間想象能力和思維能力,是中檔題.
11.過雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F2(c,0)作圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為M,延長F2M交拋物線y2=﹣4cx于點(diǎn)P,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),若 ,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合;雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】說明M是F2P的中點(diǎn).設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1,則F1為(﹣c,0),也是雙曲線的焦點(diǎn).畫出圖形,連接PF1,OM,說明OM為△PF2F1的中位線.通過PF2⊥PF1,可得|PF2|= ,設(shè)P(x,y),推出 c﹣x=2a,利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理得 y2+4a2=4b2,然后求解離心率即可.
【解答】解:如圖9,∵ ,∴M是F2P的中點(diǎn).
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1,則F1為(﹣c,0),也是雙曲線的焦點(diǎn).
連接PF1,OM.∵O、M分別是F1F2和PF2的中點(diǎn),∴OM為
△PF2F1的中位線.∵OM=a,∴|PF1|=2 a.∵OM⊥PF2,
∴PF2⊥PF1,于是可得|PF2|= ,設(shè)P(x,y),則 c﹣x=2a,
于是有x=c﹣2a,y2=﹣4c(c﹣2 a),過點(diǎn)F2作x軸的垂線,點(diǎn)P到該垂線的距離為2a.
由勾股定理得 y2+4a2=4b2,即﹣4c(c﹣2a)+4 a2=4(c2﹣a2),
變形可得c2﹣a2=ac,兩邊同除以a2
有 e2﹣e﹣1=0,所以e= ,負(fù)值已經(jīng)舍去.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,向量以及圓與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
12.已知f(x)=|xex|,又g(x)=f2(x)﹣tf(x)(t∈R),若滿足g(x)=﹣1的x有四個(gè),則t的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.
【分析】令y=xex,則y'=(1+x)ex,求出極值點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性,作出y=xex圖象,利用圖象變換得f(x)=|xex|圖象,令f(x)=m,則關(guān)于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0兩根分別在 ,滿足g(x)=﹣1的x有4個(gè),列出不等式求解即可.
【解答】解:令y=xex,則y'=(1+x)ex,由y'=0,得x=﹣1,
當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時(shí),y'<0,函數(shù)y單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時(shí),y'>0,函
數(shù)y單調(diào)遞增.作出y=xex圖象,
利用圖象變換得f(x)=|xex|圖象(如圖10),
令f(x)=m,則關(guān)于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0
兩根分別在 時(shí)(如圖11),
滿足g(x)=﹣1的x有4個(gè),由 ,
解得 .
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值,函數(shù)的圖象的變換,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙上.
13.如圖為某工廠工人生產(chǎn)能力頻率分布直方圖,則估計(jì)此工廠工人生產(chǎn)能力的平均值為 133.8
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.
【分析】由頻率分布直方圖求出x=0.024,由此能估計(jì)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù).
【解答】解:由頻率分布直方圖得 (0.008+0.02+0.048+x)×10=1,
解得x=0.024.
估計(jì)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)為:
=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8.
故答案為:133.8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
14.已知 ,則二項(xiàng)式 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 240 .
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用;定積分.
【分析】利用定積分求出a,寫出展開式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)為0,即可得出結(jié)論.
【解答】解: =sinx =2,則二項(xiàng)式 = 展開式的通項(xiàng)公式為 ,
令 ,求得r=4,所以二項(xiàng)式 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 ×24=240.
故答案為:240.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查定積分知識(shí)的運(yùn)用,考查二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
15.若圓x2+y2﹣x+my﹣4=0關(guān)于直線x﹣y=0對(duì)稱,動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng),則 的取值范圍是 (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) .
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】由已知列式求得m值,代入約束條件,作出可行域,結(jié)合 的幾何意義,即區(qū)域OAB內(nèi)點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率求解.
【解答】解:∵圓x2+y2﹣x+my﹣4=0關(guān)于直線x﹣y=0對(duì)稱,
∴圓心 在直在線x﹣y=0上,則 ,
約束條件 表示的平面區(qū)域如圖:
表示區(qū)域OAB內(nèi)點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率.
∵ , ,
∴ 的取值范圍是(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).
故答案為:(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.
16.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且 (n∈N*).若不等式 對(duì)任意n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是 [﹣3,0] .
【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合.
【分析】利用已知條件,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì), ,得到an=2n﹣1,n∈N*,然后①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),利用函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解λ≥﹣3,②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),分離變量,通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解 λ≤0,然后推出實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【解答】解: ,
⇒an=2n﹣1,n∈N*⇒
?、佼?dāng)n為奇數(shù)時(shí), ,
是關(guān)于n(n∈N*)的增函數(shù).
所以n=1時(shí)f(n)最小值為f(1)=2﹣2+3=3,這時(shí)﹣λ≤3,λ≥﹣3,
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 恒成立,
n為偶數(shù)時(shí), 是增函數(shù),當(dāng)n=2時(shí),g(n)最小值為g(2)=4+1﹣5=0,
這時(shí) λ≤0綜上①、②實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[﹣3,0].
故答案為:[﹣3,0].
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列的函數(shù)的特征,考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法,考查分析問題解決問題的能力.
三、解答題:本大題共5小題,共70分.其中17至21題為必做題,22、23題為選做題.解答過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(12分)(2017•茂名一模)已知函f(x)=sin(2x﹣ )﹣cos2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期、最大值及取得最大值時(shí)x的集合;
(Ⅱ)設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若 ,b=1, ,且a>b,求角B和角C.
【考點(diǎn)】余弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù).
【分析】(I)根據(jù)兩角差的正弦公式、特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)解析式,由三角函數(shù)的周期公式函數(shù)f(x)的最小正周期,由正弦函數(shù)的最值求出最大值及取得最大值時(shí)x的集合;
(II)由(Ⅰ)化簡(jiǎn) ,由B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B,由條件和正弦定理列出方程求出sinC,由C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C,并結(jié)合條件驗(yàn)證邊角關(guān)系.
【解答】解:(Ⅰ)由題意得,f(x)=sin2xcos ﹣cos2xsin ﹣cos2x…(1分)
= …(2分)
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為 …(3分)
當(dāng) ,即 時(shí),
f(x)取最大值為 ,…(4分)
這時(shí)x的集合為 …
(Ⅱ)由(I)知, ,
∴ ,…(6分)
∵0
∴ ,…(8分)
,
∴由正弦定理得 ,則 ,…(9分)
∵C為三角形的內(nèi)角,∴ …(10分)
;…(11分)
,
由a>b得A>B,則 舍去,
∴ …(12分)
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,正弦定理,正弦函數(shù)的最值,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵,注意內(nèi)角的范圍和邊角關(guān)系.
18.(12分)(2017•茂名一模)調(diào)查表明:甲種農(nóng)作物的長勢(shì)與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x,y,z,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示不合格,1表示臨界合格,2表示合格,再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定這種農(nóng)作物的長勢(shì)等級(jí),若ω≥4,則長勢(shì)為一級(jí);若2≤ω≤3,則長勢(shì)為二級(jí);若0≤ω≤1,則長勢(shì)為三級(jí),為了了解目前這種農(nóng)作物長勢(shì)情況,研究人員隨機(jī)抽取10塊種植地,得到如表中結(jié)果:
種植地編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5
(x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (0,0,1) (1,2,1)
種植地編號(hào) A6 A7 A8 A9 A10
(x,y,z) (1,1,2) (1,1,1) (1,2,2) (1,2,1) (1,1,1)
(Ⅰ)在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地,求這兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率;
(Ⅱ)從長勢(shì)等級(jí)是一級(jí)的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為A,從長勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為B,記隨機(jī)變量X=A﹣B,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)由表可知:空氣濕度指標(biāo)為1的有A2,A4,A5,A7,A9,A10,空氣濕度指標(biāo)為2的有A1,A3,A6,A8,求出這10塊種植地中任取兩塊地,基本事件總數(shù)n,這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個(gè)數(shù),然后求解概率.
(Ⅱ)隨機(jī)變量X=A﹣B的所有可能取值為1,2,3,4,5,求出概率得到分布列,然后求解期望即可.
【解答】解:(Ⅰ)由表可知:空氣濕度指標(biāo)為1的有A2,A4,A5,A7,A9,A10…(1分)
空氣濕度指標(biāo)為2的有A1,A3,A6,A8,…(2分)
在這10塊種植地中任取兩塊地,基本事件總數(shù)n= …(3分)
這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個(gè)數(shù) …
∴這兩地的空氣溫度的指標(biāo)z相同的概率 …(6分)
(Ⅱ)由題意得10塊種植地的綜合指標(biāo)如下表:
編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
綜合指標(biāo) 4 4 6 1 4 4 3 5 4 3
其中長勢(shì)等級(jí)是一級(jí)(ω≥4)有A1,A2,A3,A5,A6,A8,A9,共7個(gè),
長勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)(ω<4)的有A4,A7,A10,共3個(gè),…(7分)
隨機(jī)變量X=A﹣B的所有可能取值為1,2,3,4,5,…(8分)
w=4的有A1,A2,A5,A6,A9共5塊地,w=3的有A7,A10共2塊地,這時(shí)有X=4﹣3=1
所以 ,…(9分)
同理 , , …(10分)
∴X的分布列為:
X 1 2 3 4 5
P
…(11分)
…(12分)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散性隨機(jī)變量的分布列的求法,概率的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
19.(12分)(2017•茂名一模)如圖1,在邊長為 的正方形ABCD中,E、O分別為 AD、BC的中點(diǎn),沿 EO將矩形ABOE折起使得∠BOC=120°,如圖2所示,點(diǎn)G 在BC上,BG=2GC,M、N分別為AB、EG中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN∥平面OBC;
(Ⅱ)求二面角 G﹣ME﹣B的余弦值.
【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)法一:取OG中點(diǎn)F,連結(jié)BF、FN,證明MN∥BF,然后證明MN∥平面OBC.法二:延長EM、OB交于點(diǎn)Q,連結(jié)GQ,證明M為EQ中點(diǎn),推出MN∥QG,然后證明MN∥平面OBC.
(Ⅱ)法一:證明OG⊥OB,推出OE⊥平面OBC,證明OE⊥OG,然后推出OG⊥QE,說明∠OMG為二面角G﹣ME﹣B的平面角,Rt△MOG中,求解即可.
法二:建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,求出面BOE的一個(gè)法向量,平面MGE的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
【解答】(Ⅰ)證明:法一如圖13取OG中點(diǎn)F,連結(jié)BF、FN,
則中位線FN∥ OE且FN= OE,
又BM∥ OE且BM= OE …(1分)
所以FN∥BM且FN=BM,所以四邊形BFNM是平行四邊形,所以MN∥BF,…(2分)
又MN⊄平面OBC,BF⊂平面OBC,所以MN∥平面OBC.…(4分)
法二:如圖14,延長EM、OB交于點(diǎn)Q,連結(jié)GQ,
因?yàn)锽M∥OE且BM=OE,所以 ,
M為EQ中點(diǎn),…(1分)
所以中位線MN∥QG …(2分)
又MN⊄平面OBC,QG⊂面OBC,所以MN∥平面OBC.…(4分)
(Ⅱ)解:法一如圖14,因?yàn)镺B=OC= ,∠BOC=120°,
所以 ,…
又BG=2GC.所以 , ,
∴OB2+OG2=BG2,∴∠BOG=90°,OG⊥OB,…(6分)
又∵OE⊥OB,OE⊥OC,OB∩OC=O,
∴OE⊥平面OBC,OG⊂面OBC,
∴OE⊥OG…(7分)
又OB∩OE=O,所以O(shè)G⊥平面OBE,QE⊂面OBE OG⊥QE,…(8分)
又M為EQ中點(diǎn),所以O(shè)Q=OE= ,所以O(shè)M⊥QE,OM∩OG=O,
所以QE⊥平面OMG,QE⊥MG,∠OMG為二面角G﹣ME﹣B的平面角.…(9分)
所以Rt△MOG中, , ,…(11分) ,∴二面角 G﹣ME﹣B的余弦值為 …(12分)
法二:如圖15,∵OB=OC= ,∠BOC=120°,
∴ ,…
又BG=2GC,∴ , ,
∴OB2+OG2=BG2,
∴∠BOG=90°,OG⊥OB,…(6分)
又∵OE⊥OB,OE⊥OC,OB∩OC=O,
∴OE⊥平面OBC,OG⊂面OBC,
∴OE⊥OG…(7分)
又OB∩OE=O,所以O(shè)G⊥平面OBE,OE⊂面OBE,∴OG⊥OE…(8分)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,則M( ,G(0,1,0),E( , ,…(9分)
而 是平面BOE的一個(gè)法向量,…(11分)
設(shè)平面MGE的法向量為 ,
則 ,
令 z=1,則 ,
面MGE的一個(gè)法向量為 ,…(10分)
所以
所以,二面角 G﹣ME﹣B的余弦值為 …(12分)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行于垂直的判定定理的應(yīng)用,二面角的平面角的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.
20.(12分)(2017•茂名一模)設(shè)x,y∈R,向量 分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若向量 , ,且 .
(Ⅰ)求點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓 ,P為曲線C上一點(diǎn),過點(diǎn)P作曲線C的切線y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn),試證:△OAB的面積為定值.
【考點(diǎn)】圓錐曲線的定值問題;圓錐曲線的軌跡問題;直線與橢圓的位置關(guān)系.
【分析】(Ⅰ)通過 ,得到 ,說明點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1( ,0),F(xiàn)2( ,0)的距離之和為4,推出點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓,然后求解即可.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=kx+m代入橢圓E的方程,消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0
顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi),利用判別式以及韋達(dá)定理求解三角形的面積,轉(zhuǎn)化求解即可.
【解答】(Ⅰ)解:∵ , ,且 ,
∴
∴點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1( ,0),F(xiàn)2( ,0)的距離之和為4…(2分)
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓,
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,
a=2∴b2=a2﹣c2=1…(3分)
其方程為 …(4分)
(Ⅱ)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
將y=kx+m代入橢圓E的方程,消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0
顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi),
∴△>0,由韋達(dá)定理可得: , .…
所以 …(6分)
因?yàn)橹本€y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m),
所以△OAB的面積 …(7分)
= …(8分)
設(shè)
將y=kx+m代入橢圓C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0…(10分)
由△=0,可得m2=1+4k2即t=1,…(11分)
又因?yàn)?,
故 為定值.…(12分)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,定值問題的處理方法,設(shè)而不求的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.
21.(12分)(2017•茂名一模)已知函數(shù)f(x)=x3﹣x+2 .
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)令g(x)= +lnx,若函數(shù)y=g(x)在(e,+∞)內(nèi)有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,對(duì)任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求證: .
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【分析】(Ⅰ)求出切點(diǎn)坐標(biāo),求出導(dǎo)數(shù),得到切線的斜率,然后求解函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(Ⅱ)化簡(jiǎn)g(x)的表達(dá)式,求出定義域,求出導(dǎo)函數(shù),構(gòu)造函數(shù)h(x)=x2﹣(a+2)x+1,要使y=g(x)在(e,+∞)上有極值,轉(zhuǎn)化為 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,利用判別式推出a的范圍,判斷兩個(gè)根的范圍,然后求解a 的范圍.
(Ⅲ)轉(zhuǎn)化已知條件為∀t∈(1,+∞),都有g(shù)(t)≥g(x2),通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值,推出 = ,構(gòu)造函數(shù) ,利用導(dǎo)數(shù)以及單調(diào)性求解即可.
【解答】(Ⅰ)解:∵f(1)=13﹣1+2×1=2.…(1分)
…(2分)
∴函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為:
y﹣2=3(x﹣1),即3x﹣y﹣1=0. …(3分)
(Ⅱ)解:
定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞)∴ …(4分)
設(shè)h(x)=x2﹣(a+2)x+1,要使y=g(x)在(e,+∞)上有極值,
則 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,
∴△=(a+2)2﹣4>0∴a>0或a<﹣4①…
而且一根在區(qū)間(e,+∞)上,不妨設(shè)x2>e,又因?yàn)閤1•x2=1,∴ ,
又h(0)=1,
∴
聯(lián)立①②可得: …(6分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知,當(dāng)x∈(1,x2),g'(x)<0,∴g(x)單調(diào)遞減,
x∈(x2+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增
∴g(x)在(1,+∞)上有最小值g(x2)即∀t∈(1,+∞),都有g(shù)(t)≥g(x2)…(7分)
又當(dāng)x∈(0,x1),g'(x)>0∴g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(x1,1),g'(x)<0,∴g(x)單調(diào)遞減,
∴g(x)在(0,1)上有最大值g(x1)即對(duì)∀s∈(0,1),都有g(shù)(s)≤g(x1)…(8分)
又∵x1+x2=2+a,x1x2=1,x1∈(0, ),x2∈(e,+∞),
∴ =
= …(10分)
,
∴ ,
∴k(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增,∴ …(11分)
∴ …(12分)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值,構(gòu)造法的應(yīng)用,考查函數(shù)的最值以及單調(diào)性的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分,[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](共1小題,滿分10分)
22.(10分)(2017•茂名一模)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線 .
(Ⅰ)寫出曲線C1,C2的普通方程;
(Ⅱ)過曲線C1的左焦點(diǎn)且傾斜角為 的直線l交曲線C2于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)消去參數(shù)及利亞極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法,寫出曲線C1,C2的普通方程;
(Ⅱ)直線l的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)),將其代入曲線C2整理可得: ,利用參數(shù)的幾何運(yùn)用求|AB|.
【解答】解:(Ⅰ) …(1分)
即C1的普通方程為 .…(3分)
∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,C2可化為 x2+y2+4x﹣2y+4=0,…(3分)
即(x+2)2+(y﹣1)2=1.…(4分)
(Ⅱ)曲線C1左焦點(diǎn)為(﹣4,0),…
直線l的傾斜角為 , .…(6分)
所以直線l的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)),…(7分)
將其代入曲線C2整理可得: ,…(8分)
所以△= .
設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則 .…(9分)
所以 .…(10分)
【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程的運(yùn)用,考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
[選修4-5:不等式選講](共1小題,滿分0分)
23.(2017•茂名一模)已知函數(shù)f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|x﹣1|+2.
(Ⅰ)若a=1,解不等式f(x)<6;
(Ⅱ)若對(duì)任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)通過討論x的范圍,得到關(guān)于x的不等式組,解出即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},分別求出f(x),g(x)的最小值,得到關(guān)于a的不等式,解出即可.
【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)<6,即|2x﹣1|+|2x+3|<6,
即 或 或 ,
∴ 或 或 ,
∴﹣2
所以不等式f(x)<6的解集為{x|﹣2
(Ⅱ)對(duì)任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,
則有{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},
又f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|
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